注意

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参数化教程¶

创建日期: 2021 年 4 月 19 日 | 最后更新: 2024 年 2 月 05 日 | 最后验证: 2024 年 11 月 05 日

对深度学习模型进行正则化是一个出人意料的挑战。由于被优化函数的复杂性，当应用于深度模型时，惩罚方法等经典技术往往效果不佳。在使用病态模型时，这尤其成问题。这些模型的例子包括在长序列上训练的 RNN 和 GAN。近年来，人们提出了许多技术来对这些模型进行正则化并提高它们的收敛性。对于循环模型，有人提出控制循环核的奇异值，以使 RNN 条件良好。这可以通过例如使循环核正交来实现。另一种正则化循环模型的方法是“权重归一化”。这种方法提出将参数的学习与其范数的学习解耦。为此，参数除以其Frobenius 范数，并学习一个编码其范数的单独参数。GAN 也提出了类似的正则化方法，称为“谱归一化”。这种方法通过将参数除以其谱范数而不是 Frobenius 范数来控制网络的 Lipschitz 常数。

所有这些方法都有一个共同模式：它们在使用参数之前都以适当的方式对其进行变换。在第一种情况下，它们通过使用一个将矩阵映射到正交矩阵的函数来使其正交。在权重归一化和谱归一化的情况下，它们将原始参数除以其范数。

更广泛地说，所有这些示例都使用函数为参数添加额外结构。换句话说，它们使用函数来约束参数。

在本教程中，您将学习如何实现和使用这种模式来对您的模型施加约束。这样做就像编写自己的 nn.Module 一样简单。

要求: torch>=1.9.0

手动实现参数化¶

假设我们想要一个带有对称权重的方形线性层，即权重 X 满足 X = Xᵀ。一种方法是将矩阵的上三角部分复制到其下三角部分

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.utils.parametrize as parametrize

def symmetric(X):
    return X.triu() + X.triu(1).transpose(-1, -2)

X = torch.rand(3, 3)
A = symmetric(X)
assert torch.allclose(A, A.T)  # A is symmetric
print(A)                       # Quick visual check

tensor([[0.8823, 0.9150, 0.3829],
        [0.9150, 0.3904, 0.6009],
        [0.3829, 0.6009, 0.9408]])

然后我们可以使用这个想法来实现一个带有对称权重的线性层

class LinearSymmetric(nn.Module):
    def __init__(self, n_features):
        super().__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(n_features, n_features))

    def forward(self, x):
        A = symmetric(self.weight)
        return x @ A

该层可以像常规线性层一样使用

layer = LinearSymmetric(3)
out = layer(torch.rand(8, 3))

尽管这个实现是正确的且自包含的，但它存在一些问题

它重新实现了该层。我们不得不将线性层实现为 x @ A。这对于线性层来说问题不大，但想象一下必须重新实现一个 CNN 或 Transformer...
它没有将层和参数化分开。如果参数化更复杂，我们将不得不为想要使用它的每一层重写其代码。
每当使用该层时，它都会重新计算参数化。如果我们在前向传播期间多次使用该层（想象 RNN 的循环核），它会在每次调用该层时计算相同的 A。

参数化介绍¶

参数化可以解决所有这些问题以及其他问题。

让我们开始使用 torch.nn.utils.parametrize 重新实现上面的代码。我们唯一需要做的就是将参数化编写成一个常规的 nn.Module

class Symmetric(nn.Module):
    def forward(self, X):
        return X.triu() + X.triu(1).transpose(-1, -2)

这就是我们需要做的全部。完成此操作后，我们可以通过以下方式将任何常规层转换为对称层

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Symmetric())

ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Symmetric()
    )
  )
)

现在，线性层的矩阵是对称的

A = layer.weight
assert torch.allclose(A, A.T)  # A is symmetric
print(A)                       # Quick visual check

tensor([[ 0.2430,  0.5155,  0.3337],
        [ 0.5155,  0.3333,  0.1033],
        [ 0.3337,  0.1033, -0.5715]], grad_fn=<AddBackward0>)

我们可以对任何其他层做同样的事情。例如，我们可以使用斜对称核创建一个 CNN。我们使用类似的参数化，将带有相反符号的上三角部分复制到下三角部分

class Skew(nn.Module):
    def forward(self, X):
        A = X.triu(1)
        return A - A.transpose(-1, -2)


cnn = nn.Conv2d(in_channels=5, out_channels=8, kernel_size=3)
parametrize.register_parametrization(cnn, "weight", Skew())
# Print a few kernels
print(cnn.weight[0, 1])
print(cnn.weight[2, 2])

tensor([[ 0.0000,  0.0457, -0.0311],
        [-0.0457,  0.0000, -0.0889],
        [ 0.0311,  0.0889,  0.0000]], grad_fn=<SelectBackward0>)
tensor([[ 0.0000, -0.1314,  0.0626],
        [ 0.1314,  0.0000,  0.1280],
        [-0.0626, -0.1280,  0.0000]], grad_fn=<SelectBackward0>)

检查参数化模块¶

当一个模块被参数化时，我们发现该模块在三个方面发生了变化

model.weight 现在是一个属性
它有一个新的 module.parametrizations 属性
未参数化的权重已移至 module.parametrizations.weight.original

在参数化 weight 后，layer.weight 变成了一个 Python 属性。每当我们请求 layer.weight 时，这个属性都会计算 parametrization(weight)，就像我们在上面的 LinearSymmetric 实现中所做的那样。

注册的参数化存储在模块内的 parametrizations 属性下。

layer = nn.Linear(3, 3)
print(f"Unparametrized:\n{layer}")
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Symmetric())
print(f"\nParametrized:\n{layer}")

Unparametrized:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Symmetric()
    )
  )
)

这个 parametrizations 属性是一个 nn.ModuleDict，并且可以像这样访问

print(layer.parametrizations)
print(layer.parametrizations.weight)

ModuleDict(
  (weight): ParametrizationList(
    (0): Symmetric()
  )
)
ParametrizationList(
  (0): Symmetric()
)

这个 nn.ModuleDict 的每个元素都是一个 ParametrizationList，它的行为类似于 nn.Sequential。这个列表将允许我们在一个权重上连接多个参数化。由于这是一个列表，我们可以通过索引来访问参数化。这是我们的 Symmetric 参数化所在的位置

print(layer.parametrizations.weight[0])

Symmetric()

我们注意到的另一件事是，如果我们打印参数，我们会看到参数 weight 已经被移动了

print(dict(layer.named_parameters()))

{'bias': Parameter containing:
tensor([-0.0730, -0.2283,  0.3217], requires_grad=True), 'parametrizations.weight.original': Parameter containing:
tensor([[-0.4328,  0.3425,  0.4643],
        [ 0.0937, -0.1005, -0.5348],
        [-0.2103,  0.1470,  0.2722]], requires_grad=True)}

它现在位于 layer.parametrizations.weight.original 下

print(layer.parametrizations.weight.original)

Parameter containing:
tensor([[-0.4328,  0.3425,  0.4643],
        [ 0.0937, -0.1005, -0.5348],
        [-0.2103,  0.1470,  0.2722]], requires_grad=True)

除了这三个小差异之外，参数化正在做的事情与我们的手动实现完全相同

symmetric = Symmetric()
weight_orig = layer.parametrizations.weight.original
print(torch.dist(layer.weight, symmetric(weight_orig)))

tensor(0., grad_fn=<DistBackward0>)

参数化是一等公民¶

由于 layer.parametrizations 是一个 nn.ModuleDict，这意味着参数化被正确地注册为原始模块的子模块。因此，在模块中注册参数的规则适用于注册参数化。例如，如果一个参数化有参数，当调用 model = model.cuda() 时，这些参数将从 CPU 移动到 CUDA。

缓存参数化的值¶

参数化通过上下文管理器 parametrize.cached() 带有一个内置缓存系统

class NoisyParametrization(nn.Module):
    def forward(self, X):
        print("Computing the Parametrization")
        return X

layer = nn.Linear(4, 4)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", NoisyParametrization())
print("Here, layer.weight is recomputed every time we call it")
foo = layer.weight + layer.weight.T
bar = layer.weight.sum()
with parametrize.cached():
    print("Here, it is computed just the first time layer.weight is called")
    foo = layer.weight + layer.weight.T
    bar = layer.weight.sum()

Computing the Parametrization
Here, layer.weight is recomputed every time we call it
Computing the Parametrization
Computing the Parametrization
Computing the Parametrization
Here, it is computed just the first time layer.weight is called
Computing the Parametrization

连接参数化¶

连接两个参数化就像在同一个张量上注册它们一样简单。我们可以使用它从简单的参数化创建更复杂的参数化。例如，Cayley 映射将斜对称矩阵映射到具有正行列式的正交矩阵。我们可以连接 Skew 和一个实现 Cayley 映射的参数化，以得到一个带有正交权重的层

class CayleyMap(nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.register_buffer("Id", torch.eye(n))

    def forward(self, X):
        # (I + X)(I - X)^{-1}
        return torch.linalg.solve(self.Id - X, self.Id + X)

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", CayleyMap(3))
X = layer.weight
print(torch.dist(X.T @ X, torch.eye(3)))  # X is orthogonal

tensor(3.2799e-07, grad_fn=<DistBackward0>)

这也可以用于剪枝参数化模块，或重用参数化。例如，矩阵指数将对称矩阵映射到对称正定 (SPD) 矩阵，但矩阵指数也将斜对称矩阵映射到正交矩阵。利用这两个事实，我们可以利用之前的参数化来实现我们的优势

class MatrixExponential(nn.Module):
    def forward(self, X):
        return torch.matrix_exp(X)

layer_orthogonal = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", MatrixExponential())
X = layer_orthogonal.weight
print(torch.dist(X.T @ X, torch.eye(3)))         # X is orthogonal

layer_spd = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_spd, "weight", Symmetric())
parametrize.register_parametrization(layer_spd, "weight", MatrixExponential())
X = layer_spd.weight
print(torch.dist(X, X.T))                        # X is symmetric
print((torch.linalg.eigvalsh(X) > 0.).all())  # X is positive definite

tensor(1.8492e-07, grad_fn=<DistBackward0>)
tensor(4.2147e-08, grad_fn=<DistBackward0>)
tensor(True)

初始化参数化¶

参数化带有一个初始化它们的机制。如果我们实现一个带有签名的 right_inverse 方法

def right_inverse(self, X: Tensor) -> Tensor

当赋值给参数化张量时，它将被使用。

让我们升级我们的 Skew 类实现以支持这一点

class Skew(nn.Module):
    def forward(self, X):
        A = X.triu(1)
        return A - A.transpose(-1, -2)

    def right_inverse(self, A):
        # We assume that A is skew-symmetric
        # We take the upper-triangular elements, as these are those used in the forward
        return A.triu(1)

我们现在可以初始化一个使用 Skew 参数化的层

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
X = torch.rand(3, 3)
X = X - X.T                             # X is now skew-symmetric
layer.weight = X                        # Initialize layer.weight to be X
print(torch.dist(layer.weight, X))      # layer.weight == X

tensor(0., grad_fn=<DistBackward0>)

当我们连接参数化时，这个 right_inverse 会按预期工作。为了说明这一点，让我们升级 Cayley 参数化以支持初始化

class CayleyMap(nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.register_buffer("Id", torch.eye(n))

    def forward(self, X):
        # Assume X skew-symmetric
        # (I + X)(I - X)^{-1}
        return torch.linalg.solve(self.Id - X, self.Id + X)

    def right_inverse(self, A):
        # Assume A orthogonal
        # See https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform#Matrix_map
        # (A - I)(A + I)^{-1}
        return torch.linalg.solve(A + self.Id, self.Id - A)

layer_orthogonal = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", CayleyMap(3))
# Sample an orthogonal matrix with positive determinant
X = torch.empty(3, 3)
nn.init.orthogonal_(X)
if X.det() < 0.:
    X[0].neg_()
layer_orthogonal.weight = X
print(torch.dist(layer_orthogonal.weight, X))  # layer_orthogonal.weight == X

tensor(2.2141, grad_fn=<DistBackward0>)

这个初始化步骤可以更简洁地写成

layer_orthogonal.weight = nn.init.orthogonal_(layer_orthogonal.weight)

这个方法的名称来源于这样一个事实：我们通常期望 forward(right_inverse(X)) == X。这是重写“使用值 X 初始化后，前向传播应该返回值 X” 的一种直接方式。这个约束在实践中并未被强制执行。事实上，有时放宽这种关系可能更有意义。例如，考虑以下随机剪枝方法的实现

class PruningParametrization(nn.Module):
    def __init__(self, X, p_drop=0.2):
        super().__init__()
        # sample zeros with probability p_drop
        mask = torch.full_like(X, 1.0 - p_drop)
        self.mask = torch.bernoulli(mask)

    def forward(self, X):
        return X * self.mask

    def right_inverse(self, A):
        return A

在这种情况下，对于每个矩阵 A，forward(right_inverse(A)) == A 并不成立。这仅在矩阵 A 在与掩码相同的位置处为零时成立。即使如此，如果我们给一个被剪枝的参数赋值一个张量，那么这个张量实际上会被剪枝也就不足为奇了

layer = nn.Linear(3, 4)
X = torch.rand_like(layer.weight)
print(f"Initialization matrix:\n{X}")
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", PruningParametrization(layer.weight))
layer.weight = X
print(f"\nInitialized weight:\n{layer.weight}")

Initialization matrix:
tensor([[0.3513, 0.3546, 0.7670],
        [0.2533, 0.2636, 0.8081],
        [0.0643, 0.5611, 0.9417],
        [0.5857, 0.6360, 0.2088]])

Initialized weight:
tensor([[0.3513, 0.3546, 0.7670],
        [0.2533, 0.0000, 0.8081],
        [0.0643, 0.5611, 0.9417],
        [0.5857, 0.6360, 0.0000]], grad_fn=<MulBackward0>)

移除参数化¶

我们可以使用 parametrize.remove_parametrizations() 移除模块中参数或缓冲区上的所有参数化

layer = nn.Linear(3, 3)
print("Before:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
print("\nParametrized:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.remove_parametrizations(layer, "weight")
print("\nAfter. Weight has skew-symmetric values but it is unconstrained:")
print(layer)
print(layer.weight)

Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0669, -0.3112,  0.3017],
        [-0.5464, -0.2233, -0.1125],
        [-0.4906, -0.3671, -0.0942]], requires_grad=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Skew()
    )
  )
)
tensor([[ 0.0000, -0.3112,  0.3017],
        [ 0.3112,  0.0000, -0.1125],
        [-0.3017,  0.1125,  0.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

After. Weight has skew-symmetric values but it is unconstrained:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0000, -0.3112,  0.3017],
        [ 0.3112,  0.0000, -0.1125],
        [-0.3017,  0.1125,  0.0000]], requires_grad=True)

移除参数化时，我们可以选择保留原始参数（即 layer.parametriations.weight.original 中的参数），而不是其参数化版本，通过设置标志 leave_parametrized=False

layer = nn.Linear(3, 3)
print("Before:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
print("\nParametrized:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.remove_parametrizations(layer, "weight", leave_parametrized=False)
print("\nAfter. Same as Before:")
print(layer)
print(layer.weight)

Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[-0.3447, -0.3777,  0.5038],
        [ 0.2042,  0.0153,  0.0781],
        [-0.4640, -0.1928,  0.5558]], requires_grad=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Skew()
    )
  )
)
tensor([[ 0.0000, -0.3777,  0.5038],
        [ 0.3777,  0.0000,  0.0781],
        [-0.5038, -0.0781,  0.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

After. Same as Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0000, -0.3777,  0.5038],
        [ 0.0000,  0.0000,  0.0781],
        [ 0.0000,  0.0000,  0.0000]], requires_grad=True)

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