注意

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参数化教程¶

正则化深度学习模型是一项令人惊讶的具有挑战性的任务。由于被优化函数的复杂性，经典技术（如惩罚方法）在应用于深度模型时往往效果不佳。这在处理病态模型时尤其成问题。RNN 在长序列上训练和 GAN 就是此类模型的例子。近年来，已经提出了一些技术来正则化这些模型并改善它们的收敛性。在循环模型上，已经提出控制 RNN 循环核的奇异值以使其良好条件。例如，可以通过使循环核正交来实现。正则化循环模型的另一种方法是通过“权重归一化”。这种方法建议将参数的学习与它们范数的学习解耦。为此，参数除以其 Frobenius 范数，并学习一个单独的参数来编码其范数。对于 GAN，在“谱归一化”的名义下提出了类似的正则化方法。该方法通过将参数除以其谱范数（而不是 Frobenius 范数）来控制网络的 Lipschitz 常数。

所有这些方法都具有一个共同的模式：它们都在使用参数之前以适当的方式对其进行转换。在第一种情况下，它们使用将矩阵映射到正交矩阵的函数使其正交。在权重和谱归一化的情况下，它们将原始参数除以其范数。

更一般地，所有这些示例都使用一个函数来为参数添加额外的结构。换句话说，它们使用一个函数来约束参数。

在本教程中，您将学习如何实现并使用此模式来约束您的模型。这样做就像编写您自己的 nn.Module 一样简单。

要求：torch>=1.9.0

手动实现参数化¶

假设我们想要一个具有对称权重的方形线性层，即权重 X 满足 X = Xᵀ。一种方法是将矩阵的上三角部分复制到其下三角部分

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.utils.parametrize as parametrize

def symmetric(X):
    return X.triu() + X.triu(1).transpose(-1, -2)

X = torch.rand(3, 3)
A = symmetric(X)
assert torch.allclose(A, A.T)  # A is symmetric
print(A)                       # Quick visual check

tensor([[0.8823, 0.9150, 0.3829],
        [0.9150, 0.3904, 0.6009],
        [0.3829, 0.6009, 0.9408]])

然后我们可以使用这个想法来实现一个具有对称权重的线性层

class LinearSymmetric(nn.Module):
    def __init__(self, n_features):
        super().__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(n_features, n_features))

    def forward(self, x):
        A = symmetric(self.weight)
        return x @ A

然后可以像常规线性层一样使用该层

layer = LinearSymmetric(3)
out = layer(torch.rand(8, 3))

这种实现虽然正确且自包含，但存在一些问题

它重新实现了该层。我们必须将线性层实现为 x @ A。对于线性层来说，这问题不大，但想象一下，如果必须重新实现 CNN 或 Transformer……
它没有将层和参数化分开。如果参数化更复杂，我们必须为我们要使用的每个层重写其代码。
它每次使用该层时都会重新计算参数化。如果在正向传递期间多次使用该层（例如 RNN 的循环内核），它将每次调用该层时都计算相同的 A。

参数化简介¶

参数化可以解决所有这些问题以及其他问题。

让我们首先使用 torch.nn.utils.parametrize 重新实现上面的代码。我们只需要将参数化编写为常规的 nn.Module

class Symmetric(nn.Module):
    def forward(self, X):
        return X.triu() + X.triu(1).transpose(-1, -2)

这就是我们需要做的全部。一旦有了它，我们就可以通过以下方式将任何常规层转换为对称层

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Symmetric())

ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Symmetric()
    )
  )
)

现在，线性层的矩阵是对称的

A = layer.weight
assert torch.allclose(A, A.T)  # A is symmetric
print(A)                       # Quick visual check

tensor([[ 0.2430,  0.5155,  0.3337],
        [ 0.5155,  0.3333,  0.1033],
        [ 0.3337,  0.1033, -0.5715]], grad_fn=<AddBackward0>)

我们可以对任何其他层执行相同的操作。例如，我们可以创建一个具有斜对称核的 CNN。我们使用类似的参数化，将上三角部分带符号反转复制到下三角部分

class Skew(nn.Module):
    def forward(self, X):
        A = X.triu(1)
        return A - A.transpose(-1, -2)


cnn = nn.Conv2d(in_channels=5, out_channels=8, kernel_size=3)
parametrize.register_parametrization(cnn, "weight", Skew())
# Print a few kernels
print(cnn.weight[0, 1])
print(cnn.weight[2, 2])

tensor([[ 0.0000,  0.0457, -0.0311],
        [-0.0457,  0.0000, -0.0889],
        [ 0.0311,  0.0889,  0.0000]], grad_fn=<SelectBackward0>)
tensor([[ 0.0000, -0.1314,  0.0626],
        [ 0.1314,  0.0000,  0.1280],
        [-0.0626, -0.1280,  0.0000]], grad_fn=<SelectBackward0>)

检查参数化模块¶

当一个模块被参数化时，我们发现该模块在三个方面发生了变化

model.weight 现在是一个属性
它有一个新的 module.parametrizations 属性
未参数化的权重已移至 module.parametrizations.weight.original

参数化 weight 后，layer.weight 变成了一个 Python 属性。此属性每次我们请求 layer.weight 时都会计算 parametrization(weight)，就像我们在上面 LinearSymmetric 的实现中所做的那样。

注册的参数化存储在模块内的 parametrizations 属性下。

layer = nn.Linear(3, 3)
print(f"Unparametrized:\n{layer}")
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Symmetric())
print(f"\nParametrized:\n{layer}")

Unparametrized:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Symmetric()
    )
  )
)

此 parametrizations 属性是一个 nn.ModuleDict，并且可以像这样访问

print(layer.parametrizations)
print(layer.parametrizations.weight)

ModuleDict(
  (weight): ParametrizationList(
    (0): Symmetric()
  )
)
ParametrizationList(
  (0): Symmetric()
)

此 nn.ModuleDict 的每个元素都是一个 ParametrizationList，其行为类似于 nn.Sequential。此列表将允许我们连接一个权重上的参数化。由于这是一个列表，我们可以通过索引访问参数化。这是我们的 Symmetric 参数化所在的位置

print(layer.parametrizations.weight[0])

Symmetric()

我们注意到的另一件事是，如果我们打印参数，我们会看到参数 weight 已被移动

print(dict(layer.named_parameters()))

{'bias': Parameter containing:
tensor([-0.0730, -0.2283,  0.3217], requires_grad=True), 'parametrizations.weight.original': Parameter containing:
tensor([[-0.4328,  0.3425,  0.4643],
        [ 0.0937, -0.1005, -0.5348],
        [-0.2103,  0.1470,  0.2722]], requires_grad=True)}

它现在位于 layer.parametrizations.weight.original 下

print(layer.parametrizations.weight.original)

Parameter containing:
tensor([[-0.4328,  0.3425,  0.4643],
        [ 0.0937, -0.1005, -0.5348],
        [-0.2103,  0.1470,  0.2722]], requires_grad=True)

除了这三个小差异之外，参数化与我们的手动实现完全相同

symmetric = Symmetric()
weight_orig = layer.parametrizations.weight.original
print(torch.dist(layer.weight, symmetric(weight_orig)))

tensor(0., grad_fn=<DistBackward0>)

参数化是一等公民¶

由于 layer.parametrizations 是一个 nn.ModuleList，这意味着参数化被正确地注册为原始模块的子模块。因此，在模块中注册参数的相同规则适用于注册参数化。例如，如果参数化具有参数，则在调用 model = model.cuda() 时，这些参数将从 CPU 移动到 CUDA。

缓存参数化的值¶

参数化通过上下文管理器 parametrize.cached() 带有一个内置的缓存系统

class NoisyParametrization(nn.Module):
    def forward(self, X):
        print("Computing the Parametrization")
        return X

layer = nn.Linear(4, 4)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", NoisyParametrization())
print("Here, layer.weight is recomputed every time we call it")
foo = layer.weight + layer.weight.T
bar = layer.weight.sum()
with parametrize.cached():
    print("Here, it is computed just the first time layer.weight is called")
    foo = layer.weight + layer.weight.T
    bar = layer.weight.sum()

Computing the Parametrization
Here, layer.weight is recomputed every time we call it
Computing the Parametrization
Computing the Parametrization
Computing the Parametrization
Here, it is computed just the first time layer.weight is called
Computing the Parametrization

连接参数化¶

连接两个参数化就像在同一个张量上注册它们一样简单。我们可以使用它从更简单的参数化创建更复杂的参数化。例如，Cayley 映射将斜对称矩阵映射到正行列式的正交矩阵。我们可以连接 Skew 和一个实现 Cayley 映射的参数化，以获得一个具有正交权重的层

class CayleyMap(nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.register_buffer("Id", torch.eye(n))

    def forward(self, X):
        # (I + X)(I - X)^{-1}
        return torch.linalg.solve(self.Id - X, self.Id + X)

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", CayleyMap(3))
X = layer.weight
print(torch.dist(X.T @ X, torch.eye(3)))  # X is orthogonal

tensor(3.2799e-07, grad_fn=<DistBackward0>)

这也可以用于修剪参数化模块或重用参数化。例如，矩阵指数将对称矩阵映射到对称正定 (SPD) 矩阵。但矩阵指数也将斜对称矩阵映射到正交矩阵。利用这两个事实，我们可以将之前的参数化用于我们的优势

class MatrixExponential(nn.Module):
    def forward(self, X):
        return torch.matrix_exp(X)

layer_orthogonal = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", MatrixExponential())
X = layer_orthogonal.weight
print(torch.dist(X.T @ X, torch.eye(3)))         # X is orthogonal

layer_spd = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_spd, "weight", Symmetric())
parametrize.register_parametrization(layer_spd, "weight", MatrixExponential())
X = layer_spd.weight
print(torch.dist(X, X.T))                        # X is symmetric
print((torch.linalg.eigvalsh(X) > 0.).all())  # X is positive definite

tensor(1.8492e-07, grad_fn=<DistBackward0>)
tensor(4.2147e-08, grad_fn=<DistBackward0>)
tensor(True)

初始化参数化¶

参数化带有一个初始化它们的机制。如果我们实现了一个具有以下签名的 right_inverse 方法

def right_inverse(self, X: Tensor) -> Tensor

它将在分配给参数化张量时使用。

让我们将 Skew 类的实现升级为支持此功能

class Skew(nn.Module):
    def forward(self, X):
        A = X.triu(1)
        return A - A.transpose(-1, -2)

    def right_inverse(self, A):
        # We assume that A is skew-symmetric
        # We take the upper-triangular elements, as these are those used in the forward
        return A.triu(1)

我们现在可以初始化一个用 Skew 参数化的层

layer = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
X = torch.rand(3, 3)
X = X - X.T                             # X is now skew-symmetric
layer.weight = X                        # Initialize layer.weight to be X
print(torch.dist(layer.weight, X))      # layer.weight == X

tensor(0., grad_fn=<DistBackward0>)

当我们连接参数化时，此 right_inverse 按预期工作。为了说明这一点，让我们将 Cayley 参数化升级为也支持初始化

class CayleyMap(nn.Module):
    def __init__(self, n):
        super().__init__()
        self.register_buffer("Id", torch.eye(n))

    def forward(self, X):
        # Assume X skew-symmetric
        # (I + X)(I - X)^{-1}
        return torch.linalg.solve(self.Id - X, self.Id + X)

    def right_inverse(self, A):
        # Assume A orthogonal
        # See https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_transform#Matrix_map
        # (A - I)(A + I)^{-1}
        return torch.linalg.solve(A + self.Id, self.Id - A)

layer_orthogonal = nn.Linear(3, 3)
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", Skew())
parametrize.register_parametrization(layer_orthogonal, "weight", CayleyMap(3))
# Sample an orthogonal matrix with positive determinant
X = torch.empty(3, 3)
nn.init.orthogonal_(X)
if X.det() < 0.:
    X[0].neg_()
layer_orthogonal.weight = X
print(torch.dist(layer_orthogonal.weight, X))  # layer_orthogonal.weight == X

tensor(2.2141, grad_fn=<DistBackward0>)

此初始化步骤可以更简洁地写成

layer_orthogonal.weight = nn.init.orthogonal_(layer_orthogonal.weight)

此方法的名称来自这样一个事实，即我们通常期望 forward(right_inverse(X)) == X。这是一种直接重写初始化值为 X 后的正向传递应该返回值 X 的方法。在实践中，此约束没有得到严格执行。事实上，有时可能需要放松这种关系。例如，考虑以下随机修剪方法的实现

class PruningParametrization(nn.Module):
    def __init__(self, X, p_drop=0.2):
        super().__init__()
        # sample zeros with probability p_drop
        mask = torch.full_like(X, 1.0 - p_drop)
        self.mask = torch.bernoulli(mask)

    def forward(self, X):
        return X * self.mask

    def right_inverse(self, A):
        return A

在这种情况下，并非对于每个矩阵 A，forward(right_inverse(A)) == A 都成立。只有当矩阵 A 在与掩码相同的位置具有零时，此条件才成立。即使如此，如果我们将张量分配给修剪后的参数，那么毫无疑问，该张量实际上将被修剪

layer = nn.Linear(3, 4)
X = torch.rand_like(layer.weight)
print(f"Initialization matrix:\n{X}")
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", PruningParametrization(layer.weight))
layer.weight = X
print(f"\nInitialized weight:\n{layer.weight}")

Initialization matrix:
tensor([[0.3513, 0.3546, 0.7670],
        [0.2533, 0.2636, 0.8081],
        [0.0643, 0.5611, 0.9417],
        [0.5857, 0.6360, 0.2088]])

Initialized weight:
tensor([[0.3513, 0.3546, 0.7670],
        [0.2533, 0.0000, 0.8081],
        [0.0643, 0.5611, 0.9417],
        [0.5857, 0.6360, 0.0000]], grad_fn=<MulBackward0>)

删除参数化¶

我们可以使用 parametrize.remove_parametrizations() 删除模块中参数或缓冲区的全部参数化

layer = nn.Linear(3, 3)
print("Before:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
print("\nParametrized:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.remove_parametrizations(layer, "weight")
print("\nAfter. Weight has skew-symmetric values but it is unconstrained:")
print(layer)
print(layer.weight)

Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0669, -0.3112,  0.3017],
        [-0.5464, -0.2233, -0.1125],
        [-0.4906, -0.3671, -0.0942]], requires_grad=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Skew()
    )
  )
)
tensor([[ 0.0000, -0.3112,  0.3017],
        [ 0.3112,  0.0000, -0.1125],
        [-0.3017,  0.1125,  0.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

After. Weight has skew-symmetric values but it is unconstrained:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0000, -0.3112,  0.3017],
        [ 0.3112,  0.0000, -0.1125],
        [-0.3017,  0.1125,  0.0000]], requires_grad=True)

删除参数化时，我们可以选择保留原始参数（即 layer.parametriations.weight.original 中的参数）而不是其参数化版本，方法是设置标志 leave_parametrized=False

layer = nn.Linear(3, 3)
print("Before:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.register_parametrization(layer, "weight", Skew())
print("\nParametrized:")
print(layer)
print(layer.weight)
parametrize.remove_parametrizations(layer, "weight", leave_parametrized=False)
print("\nAfter. Same as Before:")
print(layer)
print(layer.weight)

Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[-0.3447, -0.3777,  0.5038],
        [ 0.2042,  0.0153,  0.0781],
        [-0.4640, -0.1928,  0.5558]], requires_grad=True)

Parametrized:
ParametrizedLinear(
  in_features=3, out_features=3, bias=True
  (parametrizations): ModuleDict(
    (weight): ParametrizationList(
      (0): Skew()
    )
  )
)
tensor([[ 0.0000, -0.3777,  0.5038],
        [ 0.3777,  0.0000,  0.0781],
        [-0.5038, -0.0781,  0.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

After. Same as Before:
Linear(in_features=3, out_features=3, bias=True)
Parameter containing:
tensor([[ 0.0000, -0.3777,  0.5038],
        [ 0.0000,  0.0000,  0.0781],
        [ 0.0000,  0.0000,  0.0000]], requires_grad=True)

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