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Autograd 基础知识

创建于：2021 年 11 月 30 日 | 最后更新：2024 年 2 月 26 日 | 最后验证：2024 年 11 月 05 日

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PyTorch 的 Autograd 功能是使 PyTorch 在构建机器学习项目时灵活快速的部分原因。它允许快速轻松地计算复杂计算中的多个偏导数（也称为梯度）。此操作是基于反向传播的神经网络学习的核心。

autograd 的强大之处在于它可以在运行时动态跟踪您的计算，这意味着如果您的模型具有决策分支或循环，而循环的长度在运行时才知道，则计算仍将被正确跟踪，并且您将获得正确的梯度来驱动学习。这与您的模型是在 Python 中构建的事实相结合，提供了比依赖于对结构更严格的模型进行静态分析以计算梯度的框架更大的灵活性。

为什么我们需要 Autograd？

机器学习模型是一个函数，具有输入和输出。对于此讨论，我们将输入视为 i 维向量 \(\vec{x}\)，其元素为 \(x_{i}\)。然后，我们可以将模型 M 表示为输入的向量值函数：\(\vec{y} = \vec{M}(\vec{x})\)。（我们将 M 的输出值视为向量，因为通常，模型可以有任意数量的输出。）

由于我们主要讨论训练环境中的 autograd，因此我们感兴趣的输出将是模型的损失。损失函数 L(\(\vec{y}\)) = L(\(\vec{M}\)(\(\vec{x}\))) 是模型输出的单值标量函数。此函数表示我们模型的预测与特定输入的理想输出相差多远。注意：在此之后，我们通常会省略向量符号，如果上下文清楚的话 - 例如， \(y\) 而不是 \(\vec y\)。

在训练模型时，我们希望最小化损失。在完美模型的理想化情况下，这意味着调整其学习权重（即函数的可调参数），以使所有输入的损失均为零。在现实世界中，这意味着迭代地调整学习权重，直到我们看到对于各种输入都获得可接受的损失。

我们如何决定调整权重的距离和方向？我们希望最小化损失，这意味着使其对输入的导数为 0：\(\frac{\partial L}{\partial x} = 0\)。

但是请注意，损失不是直接从输入导出的，而是模型输出的函数（模型输出是输入的直接函数），\(\frac{\partial L}{\partial x}\) = \(\frac{\partial {L({\vec y})}}{\partial x}\)。根据微分链式法则，我们有 \(\frac{\partial {L({\vec y})}}{\partial x}\) = \(\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}\) = \(\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial M(x)}{\partial x}\)。

\(\frac{\partial M(x)}{\partial x}\) 是事情变得复杂的地方。模型输出相对于其输入的偏导数，如果我们再次使用链式法则展开表达式，将涉及每个相乘的学习权重、每个激活函数以及模型中每个其他数学变换的许多局部偏导数。每个此类偏导数的完整表达式是计算图中每条可能路径的局部梯度的乘积之和，这些路径以我们尝试测量的梯度的变量结尾。

特别是，我们感兴趣的是学习权重的梯度 - 它们告诉我们改变每个权重的方向，以使损失函数更接近于零。

由于此类局部导数（每个导数对应于模型计算图中的单独路径）的数量往往会随着神经网络的深度呈指数增长，因此计算它们的复杂性也会增加。这就是 autograd 的用武之地：它跟踪每次计算的历史记录。PyTorch 模型中的每个计算张量都带有其输入张量的历史记录以及用于创建它的函数。结合 PyTorch 函数旨在作用于张量的事实，每个函数都有内置的实现来计算自己的导数，这大大加快了学习所需的局部导数的计算速度。

一个简单的例子

那有很多理论 - 但在实践中使用 autograd 是什么样子的呢？

让我们从一个简单的例子开始。首先，我们将导入一些内容，以便我们可以绘制结果

# %matplotlib inline

import torch

import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker
import math

接下来，我们将创建一个输入张量，其中包含间隔 \([0, 2{\pi}]\) 上均匀间隔的值，并指定 requires_grad=True。（像大多数创建张量的函数一样，torch.linspace() 接受可选的 requires_grad 选项。）设置此标志意味着在随后的每次计算中，autograd 都将在该计算的输出张量中累积计算历史记录。

a = torch.linspace(0., 2. * math.pi, steps=25, requires_grad=True)
print(a)

tensor([0.0000, 0.2618, 0.5236, 0.7854, 1.0472, 1.3090, 1.5708, 1.8326, 2.0944,
        2.3562, 2.6180, 2.8798, 3.1416, 3.4034, 3.6652, 3.9270, 4.1888, 4.4506,
        4.7124, 4.9742, 5.2360, 5.4978, 5.7596, 6.0214, 6.2832],
       requires_grad=True)

接下来，我们将执行计算，并根据其输入绘制其输出

b = torch.sin(a)
plt.plot(a.detach(), b.detach())

[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x7f06962a8f40>]

让我们仔细看一下张量 b。当我们打印它时，我们看到一个指示器，表明它正在跟踪其计算历史记录

print(b)

tensor([ 0.0000e+00,  2.5882e-01,  5.0000e-01,  7.0711e-01,  8.6603e-01,
         9.6593e-01,  1.0000e+00,  9.6593e-01,  8.6603e-01,  7.0711e-01,
         5.0000e-01,  2.5882e-01, -8.7423e-08, -2.5882e-01, -5.0000e-01,
        -7.0711e-01, -8.6603e-01, -9.6593e-01, -1.0000e+00, -9.6593e-01,
        -8.6603e-01, -7.0711e-01, -5.0000e-01, -2.5882e-01,  1.7485e-07],
       grad_fn=<SinBackward0>)

此 grad_fn 给我们一个提示，即当我们执行反向传播步骤并计算梯度时，我们需要计算此张量的所有输入的 \(\sin(x)\) 的导数。

让我们执行更多计算

c = 2 * b
print(c)

d = c + 1
print(d)

tensor([ 0.0000e+00,  5.1764e-01,  1.0000e+00,  1.4142e+00,  1.7321e+00,
         1.9319e+00,  2.0000e+00,  1.9319e+00,  1.7321e+00,  1.4142e+00,
         1.0000e+00,  5.1764e-01, -1.7485e-07, -5.1764e-01, -1.0000e+00,
        -1.4142e+00, -1.7321e+00, -1.9319e+00, -2.0000e+00, -1.9319e+00,
        -1.7321e+00, -1.4142e+00, -1.0000e+00, -5.1764e-01,  3.4969e-07],
       grad_fn=<MulBackward0>)
tensor([ 1.0000e+00,  1.5176e+00,  2.0000e+00,  2.4142e+00,  2.7321e+00,
         2.9319e+00,  3.0000e+00,  2.9319e+00,  2.7321e+00,  2.4142e+00,
         2.0000e+00,  1.5176e+00,  1.0000e+00,  4.8236e-01, -3.5763e-07,
        -4.1421e-01, -7.3205e-01, -9.3185e-01, -1.0000e+00, -9.3185e-01,
        -7.3205e-01, -4.1421e-01,  4.7684e-07,  4.8236e-01,  1.0000e+00],
       grad_fn=<AddBackward0>)

最后，让我们计算一个单元素输出。当您在没有参数的情况下对张量调用 .backward() 时，它期望调用的张量仅包含一个元素，就像计算损失函数时一样。

out = d.sum()
print(out)

tensor(25., grad_fn=<SumBackward0>)

每个与我们的张量一起存储的 grad_fn 都允许您通过其 next_functions 属性将计算一直回溯到其输入。我们可以在下面看到，深入研究 d 上的此属性会向我们显示所有先前张量的梯度函数。请注意，a.grad_fn 报告为 None，表明这是函数的输入，没有自己的历史记录。

print('d:')
print(d.grad_fn)
print(d.grad_fn.next_functions)
print(d.grad_fn.next_functions[0][0].next_functions)
print(d.grad_fn.next_functions[0][0].next_functions[0][0].next_functions)
print(d.grad_fn.next_functions[0][0].next_functions[0][0].next_functions[0][0].next_functions)
print('\nc:')
print(c.grad_fn)
print('\nb:')
print(b.grad_fn)
print('\na:')
print(a.grad_fn)

d:
<AddBackward0 object at 0x7f06964a8a90>
((<MulBackward0 object at 0x7f06964a8ac0>, 0), (None, 0))
((<SinBackward0 object at 0x7f06964a8ac0>, 0), (None, 0))
((<AccumulateGrad object at 0x7f06964a8a90>, 0),)
()

c:
<MulBackward0 object at 0x7f06964a8ac0>

b:
<SinBackward0 object at 0x7f06964a8ac0>

a:
None

有了所有这些机制，我们如何获得导数？您在输出上调用 backward() 方法，并检查输入的 grad 属性以检查梯度

out.backward()
print(a.grad)
plt.plot(a.detach(), a.grad.detach())

tensor([ 2.0000e+00,  1.9319e+00,  1.7321e+00,  1.4142e+00,  1.0000e+00,
         5.1764e-01, -8.7423e-08, -5.1764e-01, -1.0000e+00, -1.4142e+00,
        -1.7321e+00, -1.9319e+00, -2.0000e+00, -1.9319e+00, -1.7321e+00,
        -1.4142e+00, -1.0000e+00, -5.1764e-01,  2.3850e-08,  5.1764e-01,
         1.0000e+00,  1.4142e+00,  1.7321e+00,  1.9319e+00,  2.0000e+00])

[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x7f06cc7e1000>]

回顾一下我们到达这里的计算步骤

a = torch.linspace(0., 2. * math.pi, steps=25, requires_grad=True)
b = torch.sin(a)
c = 2 * b
d = c + 1
out = d.sum()

添加一个常数（就像我们计算 d 一样）不会改变导数。剩下 \(c = 2 * b = 2 * \sin(a)\)，其导数应为 \(2 * \cos(a)\)。查看上面的图表，这正是我们看到的。

请注意，只有计算的叶节点才会计算其梯度。例如，如果您尝试 print(c.grad)，您将得到 None。在这个简单的示例中，只有输入是叶节点，因此只有它计算了梯度。

训练中的 Autograd

我们简要了解了 autograd 的工作原理，但是当它用于其预期目的时，它看起来如何呢？让我们定义一个小模型，并检查它在单个训练批次后如何变化。首先，定义一些常量、我们的模型以及输入和输出的一些替代品

BATCH_SIZE = 16
DIM_IN = 1000
HIDDEN_SIZE = 100
DIM_OUT = 10

class TinyModel(torch.nn.Module):

    def __init__(self):
        super(TinyModel, self).__init__()

        self.layer1 = torch.nn.Linear(DIM_IN, HIDDEN_SIZE)
        self.relu = torch.nn.ReLU()
        self.layer2 = torch.nn.Linear(HIDDEN_SIZE, DIM_OUT)

    def forward(self, x):
        x = self.layer1(x)
        x = self.relu(x)
        x = self.layer2(x)
        return x

some_input = torch.randn(BATCH_SIZE, DIM_IN, requires_grad=False)
ideal_output = torch.randn(BATCH_SIZE, DIM_OUT, requires_grad=False)

model = TinyModel()

您可能会注意到一件事，我们从未为模型的层指定 requires_grad=True。在 torch.nn.Module 的子类中，假定我们要跟踪层权重的梯度以进行学习。

如果我们查看模型的层，我们可以检查权重的取值，并验证尚未计算任何梯度

print(model.layer2.weight[0][0:10]) # just a small slice
print(model.layer2.weight.grad)

tensor([ 0.0920,  0.0916,  0.0121,  0.0083, -0.0055,  0.0367,  0.0221, -0.0276,
        -0.0086,  0.0157], grad_fn=<SliceBackward0>)
None

让我们看看当我们运行一个训练批次时，这会如何变化。对于损失函数，我们将仅使用 prediction 和 ideal_output 之间欧几里得距离的平方，我们将使用基本的随机梯度下降优化器。

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.001)

prediction = model(some_input)

loss = (ideal_output - prediction).pow(2).sum()
print(loss)

tensor(211.2634, grad_fn=<SumBackward0>)

现在，让我们调用 loss.backward() 并查看会发生什么

loss.backward()
print(model.layer2.weight[0][0:10])
print(model.layer2.weight.grad[0][0:10])

tensor([ 0.0920,  0.0916,  0.0121,  0.0083, -0.0055,  0.0367,  0.0221, -0.0276,
        -0.0086,  0.0157], grad_fn=<SliceBackward0>)
tensor([12.8997,  2.9572,  2.3021,  1.8887,  5.0710,  7.3192,  3.5169,  2.4319,
         0.1732, -5.3835])

我们可以看到，每个学习权重的梯度都已计算出来，但是权重保持不变，因为我们尚未运行优化器。优化器负责根据计算出的梯度更新模型权重。

optimizer.step()
print(model.layer2.weight[0][0:10])
print(model.layer2.weight.grad[0][0:10])

tensor([ 0.0791,  0.0886,  0.0098,  0.0064, -0.0106,  0.0293,  0.0186, -0.0300,
        -0.0088,  0.0211], grad_fn=<SliceBackward0>)
tensor([12.8997,  2.9572,  2.3021,  1.8887,  5.0710,  7.3192,  3.5169,  2.4319,
         0.1732, -5.3835])

您应该看到 layer2 的权重已更改。

关于此过程的一个重要事项：在调用 optimizer.step() 之后，您需要调用 optimizer.zero_grad()，否则每次运行 loss.backward() 时，学习权重的梯度都会累积

print(model.layer2.weight.grad[0][0:10])

for i in range(0, 5):
    prediction = model(some_input)
    loss = (ideal_output - prediction).pow(2).sum()
    loss.backward()

print(model.layer2.weight.grad[0][0:10])

optimizer.zero_grad(set_to_none=False)

print(model.layer2.weight.grad[0][0:10])

tensor([12.8997,  2.9572,  2.3021,  1.8887,  5.0710,  7.3192,  3.5169,  2.4319,
         0.1732, -5.3835])
tensor([ 19.2095, -15.9459,   8.3306,  11.5096,   9.5471,   0.5391,  -0.3370,
          8.6386,  -2.5141, -30.1419])
tensor([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.])

在运行上面的单元格后，您应该看到在多次运行 loss.backward() 后，大多数梯度的幅度将大得多。如果在运行下一个训练批次之前未能将梯度归零，则会导致梯度以此方式爆炸，从而导致不正确且不可预测的学习结果。

关闭和打开 Autograd

在某些情况下，您需要对是否启用 autograd 进行细粒度控制。根据情况，有多种方法可以做到这一点。

最简单的方法是直接更改张量上的 requires_grad 标志

a = torch.ones(2, 3, requires_grad=True)
print(a)

b1 = 2 * a
print(b1)

a.requires_grad = False
b2 = 2 * a
print(b2)

tensor([[1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.]], requires_grad=True)
tensor([[2., 2., 2.],
        [2., 2., 2.]], grad_fn=<MulBackward0>)
tensor([[2., 2., 2.],
        [2., 2., 2.]])

在上面的单元格中，我们看到 b1 具有 grad_fn（即，跟踪的计算历史记录），这是我们期望的，因为它源自张量 a，该张量已启用 autograd。当我们使用 a.requires_grad = False 显式关闭 autograd 时，不再跟踪计算历史记录，就像我们在计算 b2 时看到的那样。

如果您只需要暂时关闭 autograd，更好的方法是使用 torch.no_grad()

a = torch.ones(2, 3, requires_grad=True) * 2
b = torch.ones(2, 3, requires_grad=True) * 3

c1 = a + b
print(c1)

with torch.no_grad():
    c2 = a + b

print(c2)

c3 = a * b
print(c3)

tensor([[5., 5., 5.],
        [5., 5., 5.]], grad_fn=<AddBackward0>)
tensor([[5., 5., 5.],
        [5., 5., 5.]])
tensor([[6., 6., 6.],
        [6., 6., 6.]], grad_fn=<MulBackward0>)

torch.no_grad() 也可以用作函数或方法装饰器

def add_tensors1(x, y):
    return x + y

@torch.no_grad()
def add_tensors2(x, y):
    return x + y


a = torch.ones(2, 3, requires_grad=True) * 2
b = torch.ones(2, 3, requires_grad=True) * 3

c1 = add_tensors1(a, b)
print(c1)

c2 = add_tensors2(a, b)
print(c2)

tensor([[5., 5., 5.],
        [5., 5., 5.]], grad_fn=<AddBackward0>)
tensor([[5., 5., 5.],
        [5., 5., 5.]])

有一个对应的上下文管理器 torch.enable_grad()，用于在 autograd 尚未启用时将其打开。它也可以用作装饰器。

最后，您可能有一个需要梯度跟踪的张量，但您想要一个不需要梯度跟踪的副本。为此，我们有 Tensor 对象的 detach() 方法 - 它创建张量的副本，该副本与计算历史记录分离

x = torch.rand(5, requires_grad=True)
y = x.detach()

print(x)
print(y)

tensor([0.0670, 0.3890, 0.7264, 0.3559, 0.6584], requires_grad=True)
tensor([0.0670, 0.3890, 0.7264, 0.3559, 0.6584])

当我们要绘制一些张量时，我们在上面做了这件事。这是因为 matplotlib 期望 NumPy 数组作为输入，并且对于 requires_grad=True 的张量，未启用从 PyTorch 张量到 NumPy 数组的隐式转换。制作分离的副本使我们能够继续前进。

Autograd 和原地操作

到目前为止，在本笔记本的每个示例中，我们都使用变量来捕获计算的中间值。Autograd 需要这些中间值来执行梯度计算。因此，在使用 autograd 时，您必须小心使用原地操作。 这样做可能会破坏您在 backward() 调用中计算导数所需的信息。如果您尝试对需要 autograd 的叶变量执行原地操作，PyTorch 甚至会阻止您，如下所示。

注意

以下代码单元格引发运行时错误。这是预期的。

a = torch.linspace(0., 2. * math.pi, steps=25, requires_grad=True)
torch.sin_(a)

Autograd 性能分析器

Autograd 详细跟踪您计算的每一步。这样的计算历史记录，结合时间信息，将成为一个方便的性能分析器 - 而 autograd 具有内置的该功能。这是一个快速示例用法

device = torch.device('cpu')
run_on_gpu = False
if torch.cuda.is_available():
    device = torch.device('cuda')
    run_on_gpu = True

x = torch.randn(2, 3, requires_grad=True)
y = torch.rand(2, 3, requires_grad=True)
z = torch.ones(2, 3, requires_grad=True)

with torch.autograd.profiler.profile(use_cuda=run_on_gpu) as prf:
    for _ in range(1000):
        z = (z / x) * y

print(prf.key_averages().table(sort_by='self_cpu_time_total'))

/var/lib/workspace/beginner_source/introyt/autogradyt_tutorial.py:485: FutureWarning:

The attribute `use_cuda` will be deprecated soon, please use ``use_device = 'cuda'`` instead.

-------------------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------
                     Name    Self CPU %      Self CPU   CPU total %     CPU total  CPU time avg     Self CUDA   Self CUDA %    CUDA total  CUDA time avg    # of Calls
-------------------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------
          cudaEventRecord        38.95%       8.633ms        38.95%       8.633ms       2.158us       0.000us         0.00%       0.000us       0.000us          4000
                aten::div        30.59%       6.780ms        30.59%       6.780ms       6.780us      11.369ms        50.20%      11.369ms      11.369us          1000
                aten::mul        30.41%       6.740ms        30.41%       6.740ms       6.740us      11.278ms        49.80%      11.278ms      11.278us          1000
    cudaDeviceSynchronize         0.06%      13.809us         0.06%      13.809us      13.809us       0.000us         0.00%       0.000us       0.000us             1
-------------------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------  ------------
Self CPU time total: 22.166ms
Self CUDA time total: 22.647ms

性能分析器还可以标记代码的各个子块，按输入张量形状分解数据，并将数据导出为 Chrome 跟踪工具文件。有关 API 的完整详细信息，请参见文档。

高级主题：更多 Autograd 详细信息和高级 API

如果您有一个具有 n 维输入和 m 维输出的函数 \(\vec{y}=f(\vec{x})\)，则完整梯度是每个输出相对于每个输入的导数的矩阵，称为雅可比矩阵：

\[J = \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right)\]

如果您有第二个函数 \(l=g\left(\vec{y}\right)\)，它采用 m 维输入（即与上面的输出相同的维度），并返回标量输出，则可以将其相对于 \(\vec{y}\) 的梯度表示为列向量 \(v=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}\end{array}\right)^{T}\) - 这实际上只是单列雅可比矩阵。

更具体地说，将第一个函数想象为您的 PyTorch 模型（可能具有许多输入和许多输出），将第二个函数想象为损失函数（以模型的输出作为输入，以损失值作为标量输出）。

如果我们将第一个函数的雅可比矩阵乘以第二个函数的梯度，并应用链式法则，则得到

\[J^{T}\cdot v=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\partial l}{\partial y_{1}}\\ \vdots\\ \frac{\partial l}{\partial y_{m}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial l}{\partial x_{1}}\\ \vdots\\ \frac{\partial l}{\partial x_{n}} \end{array}\right)\]

注意：您也可以使用等效操作 \(v^{T}\cdot J\)，并返回行向量。

结果列向量是第二个函数相对于第一个函数输入的梯度 - 或者在我们的模型和损失函数的情况下，是损失相对于模型输入的梯度。

``torch.autograd`` 是用于计算这些乘积的引擎。 这就是我们在反向传播期间累积学习权重上的梯度的方式。

因此，backward() 调用也可以采用可选的向量输入。此向量表示张量上的一组梯度，这些梯度乘以其前面的 autograd 跟踪张量的雅可比矩阵。让我们尝试一个带有小向量的特定示例

x = torch.randn(3, requires_grad=True)

y = x * 2
while y.data.norm() < 1000:
    y = y * 2

print(y)

tensor([  299.4868,   425.4009, -1082.9885], grad_fn=<MulBackward0>)

如果我们现在尝试调用 y.backward()，我们将收到运行时错误，并显示消息梯度只能隐式计算标量输出。对于多维输出，autograd 希望我们为这三个输出提供梯度，它可以将这些梯度乘到雅可比矩阵中

v = torch.tensor([0.1, 1.0, 0.0001], dtype=torch.float) # stand-in for gradients
y.backward(v)

print(x.grad)

tensor([1.0240e+02, 1.0240e+03, 1.0240e-01])

（请注意，输出梯度都与 2 的幂有关 - 这是我们从重复加倍操作中期望得到的。）

高级 API

autograd 上有一个 API，可让您直接访问重要的微分矩阵和向量运算。特别是，它允许您计算特定函数的雅可比矩阵和海森矩阵（对于特定输入）。（海森矩阵类似于雅可比矩阵，但表示所有偏二阶导数。）它还提供了用于将向量与这些矩阵相乘的方法。

让我们取一个简单函数的雅可比矩阵，针对 2 个单元素输入进行评估

def exp_adder(x, y):
    return 2 * x.exp() + 3 * y

inputs = (torch.rand(1), torch.rand(1)) # arguments for the function
print(inputs)
torch.autograd.functional.jacobian(exp_adder, inputs)

(tensor([0.7212]), tensor([0.2079]))

(tensor([[4.1137]]), tensor([[3.]]))

如果仔细观察，第一个输出应等于 \(2e^x\)（因为 \(e^x\) 的导数为 \(e^x\)），第二个值应为 3。

当然，您可以使用更高阶的张量执行此操作

inputs = (torch.rand(3), torch.rand(3)) # arguments for the function
print(inputs)
torch.autograd.functional.jacobian(exp_adder, inputs)

(tensor([0.2080, 0.2604, 0.4415]), tensor([0.5220, 0.9867, 0.4288]))

(tensor([[2.4623, 0.0000, 0.0000],
        [0.0000, 2.5950, 0.0000],
        [0.0000, 0.0000, 3.1102]]), tensor([[3., 0., 0.],
        [0., 3., 0.],
        [0., 0., 3.]]))

torch.autograd.functional.hessian() 方法的工作方式相同（假设您的函数是两次可微的），但返回所有二阶导数的矩阵。

如果您提供向量，则还有一个函数可以直接计算向量-雅可比矩阵乘积

def do_some_doubling(x):
    y = x * 2
    while y.data.norm() < 1000:
        y = y * 2
    return y

inputs = torch.randn(3)
my_gradients = torch.tensor([0.1, 1.0, 0.0001])
torch.autograd.functional.vjp(do_some_doubling, inputs, v=my_gradients)

(tensor([-665.7186, -866.7054,  -58.4194]), tensor([1.0240e+02, 1.0240e+03, 1.0240e-01]))

torch.autograd.functional.jvp() 方法执行与 vjp() 相同的矩阵乘法，但操作数相反。vhp() 和 hvp() 方法对向量-海森矩阵乘积执行相同的操作。

有关更多信息，包括有关功能 API 文档的性能说明