使用自定义函数进行双反向传播

有时需要在反向传播图上进行两次反向传播，例如计算高阶梯度。然而，这需要对自动微分有深入的理解，并需要小心处理。支持执行一次反向传播的函数不一定能够支持双反向传播。在本教程中，我们将展示如何编写一个支持双反向传播的自定义自动微分函数，并指出一些需要注意的事项。

在编写自定义自动微分函数以进行两次反向传播时，了解自定义函数中执行的操作何时会被自动微分记录、何时不会被记录，以及最重要的是 save_for_backward 如何与所有这些操作交互，这一点非常重要。

自定义函数以两种方式隐式地影响梯度模式

• 在正向传播期间，自动微分不会记录正向函数内执行的任何操作的计算图。当正向传播完成后，自定义函数的反向函数将成为正向函数每个输出的 grad_fn

• 在反向传播期间，如果指定了 create_graph，自动微分将记录用于计算反向传播的计算图。

接下来，为了理解 save_for_backward 如何与上述内容交互，我们可以探索几个示例。

保存输入

考虑这个简单的平方函数。它保存一个输入张量用于反向传播。当自动微分能够记录反向传播中的操作时，双反向传播会自动工作，因此当我们将输入保存用于反向传播时，通常无需担心任何事，因为如果输入是任何需要梯度的张量的函数，则它应该具有 grad_fn。这允许梯度被正确地传播。

import torch

class Square(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        # Because we are saving one of the inputs use `save_for_backward`
        # Save non-tensors and non-inputs/non-outputs directly on ctx
        ctx.save_for_backward(x)
        return x**2

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        # A function support double backward automatically if autograd
        # is able to record the computations performed in backward
        x, = ctx.saved_tensors
        return grad_out * 2 * x

# Use double precision because finite differencing method magnifies errors
x = torch.rand(3, 3, requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(Square.apply, x)
# Use gradcheck to verify second-order derivatives
torch.autograd.gradgradcheck(Square.apply, x)

我们可以使用 torchviz 可视化计算图，以了解其工作原理。

import torchviz

x = torch.tensor(1., requires_grad=True).clone()
out = Square.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), {"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

我们可以看到，关于 x 的梯度本身是 x 的函数 (dout/dx = 2x)，并且此函数的计算图已正确构建。

保存输出

前面示例的一个轻微变化是保存输出而不是输入。机制是类似的，因为输出也与 grad_fn 相关联。

class Exp(torch.autograd.Function):
    # Simple case where everything goes well
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        # This time we save the output
        result = torch.exp(x)
        # Note that we should use `save_for_backward` here when
        # the tensor saved is an ouptut (or an input).
        ctx.save_for_backward(result)
        return result

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        result, = ctx.saved_tensors
        return result * grad_out

x = torch.tensor(1., requires_grad=True, dtype=torch.double).clone()
# Validate our gradients using gradcheck
torch.autograd.gradcheck(Exp.apply, x)
torch.autograd.gradgradcheck(Exp.apply, x)

使用 torchviz 可视化计算图。

out = Exp.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), {"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

保存中间结果

更棘手的情况是我们需要保存中间结果。我们通过实现以下示例来演示这种情况

\[sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

由于 sinh 的导数是 cosh，因此在反向计算中重用 exp(x) 和 exp(-x)（这两个正向传递的中间结果）可能很有用。

但是，中间结果不应直接保存并在反向传播中使用。因为正向传播是在 no-grad 模式下执行的，如果正向传递的中间结果用于在反向传播中计算梯度，则梯度的反向传播图将不包含计算中间结果的操作。这会导致梯度不正确。

class Sinh(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        expx = torch.exp(x)
        expnegx = torch.exp(-x)
        ctx.save_for_backward(expx, expnegx)
        # In order to be able to save the intermediate results, a trick is to
        # include them as our outputs, so that the backward graph is constructed
        return (expx - expnegx) / 2, expx, expnegx

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out, _grad_out_exp, _grad_out_negexp):
        expx, expnegx = ctx.saved_tensors
        grad_input = grad_out * (expx + expnegx) / 2
        # We cannot skip accumulating these even though we won't use the outputs
        # directly. They will be used later in the second backward.
        grad_input += _grad_out_exp * expx
        grad_input -= _grad_out_negexp * expnegx
        return grad_input

def sinh(x):
    # Create a wrapper that only returns the first output
    return Sinh.apply(x)[0]

x = torch.rand(3, 3, requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(sinh, x)
torch.autograd.gradgradcheck(sinh, x)

使用 torchviz 可视化计算图。

out = sinh(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

保存中间结果：错误的做法

现在我们展示当我们不将中间结果作为输出返回时会发生什么：grad_x 甚至不会有反向传播图，因为它纯粹是 exp 和 expnegx 的函数，而它们不需要梯度。

class SinhBad(torch.autograd.Function):
    # This is an example of what NOT to do!
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        expx = torch.exp(x)
        expnegx = torch.exp(-x)
        ctx.expx = expx
        ctx.expnegx = expnegx
        return (expx - expnegx) / 2

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        expx = ctx.expx
        expnegx = ctx.expnegx
        grad_input = grad_out * (expx + expnegx) / 2
        return grad_input

使用 torchviz 可视化图形。注意 grad_x 不是图形的一部分！

out = SinhBad.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

当不跟踪反向传播时

最后，让我们考虑一个 autograd 完全无法跟踪函数反向传播梯度的示例。我们可以想象 cube_backward 是一个可能需要非 PyTorch 库（如 SciPy 或 NumPy）或编写为 C++ 扩展的函数。此处演示的解决方法是创建另一个自定义函数 CubeBackward，您可以在其中手动指定 cube_backward 的反向传播！

def cube_forward(x):
    return x**3

def cube_backward(grad_out, x):
    return grad_out * 3 * x**2

def cube_backward_backward(grad_out, sav_grad_out, x):
    return grad_out * sav_grad_out * 6 * x

def cube_backward_backward_grad_out(grad_out, x):
    return grad_out * 3 * x**2

class Cube(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        ctx.save_for_backward(x)
        return cube_forward(x)

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        x, = ctx.saved_tensors
        return CubeBackward.apply(grad_out, x)

class CubeBackward(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, grad_out, x):
        ctx.save_for_backward(x, grad_out)
        return cube_backward(grad_out, x)

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        x, sav_grad_out = ctx.saved_tensors
        dx = cube_backward_backward(grad_out, sav_grad_out, x)
        dgrad_out = cube_backward_backward_grad_out(grad_out, x)
        return dgrad_out, dx

x = torch.tensor(2., requires_grad=True, dtype=torch.double)

torch.autograd.gradcheck(Cube.apply, x)
torch.autograd.gradgradcheck(Cube.apply, x)

使用 torchviz 可视化计算图。

out = Cube.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

总之，双反向传播是否适用于您的自定义函数，仅仅取决于 autograd 是否可以跟踪反向传播过程。在前面两个示例中，我们展示了双反向传播开箱即用的情况。在第三和第四个示例中，我们演示了使反向传播函数可被跟踪的技术，否则它们将无法被跟踪。