使用自定义函数进行双重反向传播

创建于：2021 年 8 月 13 日 | 最后更新：2021 年 8 月 13 日 | 最后验证：2024 年 11 月 05 日

有时，在反向图上运行两次反向传播很有用，例如计算高阶梯度。然而，支持双重反向传播需要对 autograd 有所了解并加以注意。仅支持一次反向传播的函数不一定能够支持双重反向传播。在本教程中，我们将展示如何编写一个支持双重反向传播的自定义 autograd 函数，并指出一些需要注意的事项。

在编写支持双重反向传播的自定义 autograd 函数时，了解在自定义函数中执行的操作何时会被 autograd 记录、何时不会被记录，以及最重要的是 save_for_backward 如何与这一切协同工作，这一点非常重要。

自定义函数以两种方式隐式影响梯度模式：

• 在前向传播期间，autograd 不会记录在前向函数中执行的任何操作的图。当前向传播完成后，自定义函数的反向函数将成为前向传播的每个输出的 grad_fn。

• 在反向传播期间，如果指定了 `create_graph`，autograd 会记录用于计算反向传播的计算图。

接下来，为了理解 save_for_backward 如何与上述内容交互，我们可以探讨几个示例。

保存输入

考虑这个简单的平方函数。它保存输入张量用于反向传播。当 autograd 能够在反向传播过程中记录操作时，双重反向传播会自动工作，因此当我们保存输入用于反向传播时，通常无需担心，因为如果输入是任何需要梯度的张量的函数，它应该具有 grad_fn。这使得梯度能够正确传播。

import torch

class Square(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        # Because we are saving one of the inputs use `save_for_backward`
        # Save non-tensors and non-inputs/non-outputs directly on ctx
        ctx.save_for_backward(x)
        return x**2

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        # A function support double backward automatically if autograd
        # is able to record the computations performed in backward
        x, = ctx.saved_tensors
        return grad_out * 2 * x

# Use double precision because finite differencing method magnifies errors
x = torch.rand(3, 3, requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(Square.apply, x)
# Use gradcheck to verify second-order derivatives
torch.autograd.gradgradcheck(Square.apply, x)

我们可以使用 torchviz 可视化图，以了解其工作原理。

import torchviz

x = torch.tensor(1., requires_grad=True).clone()
out = Square.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), {"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

我们可以看到，关于 x 的梯度本身是 x 的函数 (dout/dx = 2x)，并且这个函数的图已经正确构建。

保存输出

上一个示例的一个微小变体是保存输出而不是输入。其机制类似，因为输出也与 grad_fn 相关联。

class Exp(torch.autograd.Function):
    # Simple case where everything goes well
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        # This time we save the output
        result = torch.exp(x)
        # Note that we should use `save_for_backward` here when
        # the tensor saved is an ouptut (or an input).
        ctx.save_for_backward(result)
        return result

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        result, = ctx.saved_tensors
        return result * grad_out

x = torch.tensor(1., requires_grad=True, dtype=torch.double).clone()
# Validate our gradients using gradcheck
torch.autograd.gradcheck(Exp.apply, x)
torch.autograd.gradgradcheck(Exp.apply, x)

使用 torchviz 可视化图。

out = Exp.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), {"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

保存中间结果

更棘手的情况是需要保存中间结果。我们通过实现以下函数来演示这种情况：

\[sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

由于 sinh 的导数是 cosh，因此在反向计算中重用前向传播中的两个中间结果 exp(x) 和 exp(-x) 可能会很有用。

然而，中间结果不应直接保存并在反向传播中使用。由于前向传播在 no-grad 模式下执行，如果前向传播的中间结果用于在反向传播中计算梯度，那么梯度的反向图将不会包含计算中间结果的操作。这将导致不正确的梯度。

class Sinh(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        expx = torch.exp(x)
        expnegx = torch.exp(-x)
        ctx.save_for_backward(expx, expnegx)
        # In order to be able to save the intermediate results, a trick is to
        # include them as our outputs, so that the backward graph is constructed
        return (expx - expnegx) / 2, expx, expnegx

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out, _grad_out_exp, _grad_out_negexp):
        expx, expnegx = ctx.saved_tensors
        grad_input = grad_out * (expx + expnegx) / 2
        # We cannot skip accumulating these even though we won't use the outputs
        # directly. They will be used later in the second backward.
        grad_input += _grad_out_exp * expx
        grad_input -= _grad_out_negexp * expnegx
        return grad_input

def sinh(x):
    # Create a wrapper that only returns the first output
    return Sinh.apply(x)[0]

x = torch.rand(3, 3, requires_grad=True, dtype=torch.double)
torch.autograd.gradcheck(sinh, x)
torch.autograd.gradgradcheck(sinh, x)

使用 torchviz 可视化图。

out = sinh(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

保存中间结果：不应做的事情

现在我们展示如果不将中间结果作为输出返回时会发生什么：grad_x 甚至不会有反向图，因为它完全是 exp 和 expnegx 的函数，而它们不需要梯度。

class SinhBad(torch.autograd.Function):
    # This is an example of what NOT to do!
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        expx = torch.exp(x)
        expnegx = torch.exp(-x)
        ctx.expx = expx
        ctx.expnegx = expnegx
        return (expx - expnegx) / 2

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        expx = ctx.expx
        expnegx = ctx.expnegx
        grad_input = grad_out * (expx + expnegx) / 2
        return grad_input

使用 torchviz 可视化图。注意 grad_x 不在图中！

out = SinhBad.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

当反向传播未被跟踪时

最后，让我们考虑一个 autograd 可能完全无法跟踪函数反向传播梯度的示例。我们可以设想 cube_backward 是一个可能需要 SciPy 或 NumPy 等非 PyTorch 库的函数，或者写成一个 C++ 扩展。这里演示的解决方案是创建另一个自定义函数 CubeBackward，并在其中手动指定 cube_backward 的反向传播！

def cube_forward(x):
    return x**3

def cube_backward(grad_out, x):
    return grad_out * 3 * x**2

def cube_backward_backward(grad_out, sav_grad_out, x):
    return grad_out * sav_grad_out * 6 * x

def cube_backward_backward_grad_out(grad_out, x):
    return grad_out * 3 * x**2

class Cube(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, x):
        ctx.save_for_backward(x)
        return cube_forward(x)

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        x, = ctx.saved_tensors
        return CubeBackward.apply(grad_out, x)

class CubeBackward(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, grad_out, x):
        ctx.save_for_backward(x, grad_out)
        return cube_backward(grad_out, x)

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_out):
        x, sav_grad_out = ctx.saved_tensors
        dx = cube_backward_backward(grad_out, sav_grad_out, x)
        dgrad_out = cube_backward_backward_grad_out(grad_out, x)
        return dgrad_out, dx

x = torch.tensor(2., requires_grad=True, dtype=torch.double)

torch.autograd.gradcheck(Cube.apply, x)
torch.autograd.gradgradcheck(Cube.apply, x)

使用 torchviz 可视化图。

out = Cube.apply(x)
grad_x, = torch.autograd.grad(out, x, create_graph=True)
torchviz.make_dot((grad_x, x, out), params={"grad_x": grad_x, "x": x, "out": out})

总而言之，自定义函数是否支持双重反向传播，取决于反向传播过程是否可以被 autograd 跟踪。前两个示例展示了双重反向传播开箱即用的情况。第三个和第四个示例则演示了在通常情况下无法跟踪反向函数时，如何启用跟踪的技术。