注意
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神经正切核¶
神经正切核 (NTK) 是一个描述 神经网络在训练过程中如何演变 的核函数。近年来，围绕它进行了大量研究 。 本教程受 JAX 中 NTK 的实现（详情请参见 Fast Finite Width Neural Tangent Kernel）的启发，演示了如何使用 torch.func（PyTorch 的可组合函数变换）轻松计算此数量。
注意
本教程需要 PyTorch 2.0.0 或更高版本。
设置¶
首先，进行一些设置。让我们定义一个简单的 CNN，我们希望计算其 NTK。
import torch
import torch.nn as nn
from torch.func import functional_call, vmap, vjp, jvp, jacrev
device = 'cuda' if torch.cuda.device_count() > 0 else 'cpu'
class CNN(nn.Module):
def __init__(self):
super(CNN, self).__init__()
self.conv1 = nn.Conv2d(3, 32, (3, 3))
self.conv2 = nn.Conv2d(32, 32, (3, 3))
self.conv3 = nn.Conv2d(32, 32, (3, 3))
self.fc = nn.Linear(21632, 10)
def forward(self, x):
x = self.conv1(x)
x = x.relu()
x = self.conv2(x)
x = x.relu()
x = self.conv3(x)
x = x.flatten(1)
x = self.fc(x)
return x
让我们生成一些随机数据
x_train = torch.randn(20, 3, 32, 32, device=device)
x_test = torch.randn(5, 3, 32, 32, device=device)
创建模型的函数版本¶
torch.func 变换作用于函数。特别是，为了计算 NTK，我们需要一个接受模型参数和单个输入（而不是一批输入！）并返回单个输出的函数。
我们将使用torch.func.functional_call，它允许我们使用不同的参数/缓冲区来调用nn.Module，以帮助完成第一步。
请记住，该模型最初是编写为接受一批输入数据点的。在我们的 CNN 示例中，没有批次间操作。也就是说，批次中的每个数据点都独立于其他数据点。考虑到这个假设，我们可以轻松地生成一个在单个数据点上评估模型的函数。
net = CNN().to(device)
# Detaching the parameters because we won't be calling Tensor.backward().
params = {k: v.detach() for k, v in net.named_parameters()}
def fnet_single(params, x):
return functional_call(net, params, (x.unsqueeze(0),)).squeeze(0)
计算 NTK：方法 1（雅可比收缩）¶
我们准备计算经验 NTK。两个数据点\(x_1\)和\(x_2\)的经验 NTK 定义为在\(x_1\)处评估的模型的雅可比矩阵与在\(x_2\)处评估的模型的雅可比矩阵之间的矩阵乘积。
在批处理的情况下，其中\(x_1\)是一批数据点，\(x_2\)也是一批数据点，那么我们希望得到来自\(x_1\)和\(x_2\)的所有数据点组合的雅可比矩阵之间的矩阵乘积。
第一种方法就是这样做——计算两个雅可比矩阵，并将它们进行收缩。以下是如何在批处理情况下计算 NTK 的方法。
def empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x1, x2):
# Compute J(x1)
jac1 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x1)
jac1 = jac1.values()
jac1 = [j.flatten(2) for j in jac1]
# Compute J(x2)
jac2 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x2)
jac2 = jac2.values()
jac2 = [j.flatten(2) for j in jac2]
# Compute J(x1) @ J(x2).T
result = torch.stack([torch.einsum('Naf,Mbf->NMab', j1, j2) for j1, j2 in zip(jac1, jac2)])
result = result.sum(0)
return result
result = empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x_train, x_test)
print(result.shape)
torch.Size([20, 5, 10, 10])
在某些情况下，您可能只需要此量的对角线或迹，尤其是在您事先知道网络架构会导致 NTK 的非对角线元素可以近似为零的情况下。调整上述函数以执行此操作很容易。
def empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x1, x2, compute='full'):
# Compute J(x1)
jac1 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x1)
jac1 = jac1.values()
jac1 = [j.flatten(2) for j in jac1]
# Compute J(x2)
jac2 = vmap(jacrev(fnet_single), (None, 0))(params, x2)
jac2 = jac2.values()
jac2 = [j.flatten(2) for j in jac2]
# Compute J(x1) @ J(x2).T
einsum_expr = None
if compute == 'full':
einsum_expr = 'Naf,Mbf->NMab'
elif compute == 'trace':
einsum_expr = 'Naf,Maf->NM'
elif compute == 'diagonal':
einsum_expr = 'Naf,Maf->NMa'
else:
assert False
result = torch.stack([torch.einsum(einsum_expr, j1, j2) for j1, j2 in zip(jac1, jac2)])
result = result.sum(0)
return result
result = empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x_train, x_test, 'trace')
print(result.shape)
torch.Size([20, 5])
此方法的渐近时间复杂度为\(N O [FP]\)（计算雅可比矩阵的时间）+ \(N^2 O^2 P\)（收缩雅可比矩阵的时间），其中\(N\)是\(x_1\)和\(x_2\)的批次大小，\(O\)是模型的输出大小，\(P\)是参数的总数，\([FP]\)是通过模型进行一次前向传递的成本。有关详细信息，请参阅Fast Finite Width Neural Tangent Kernel中的第 3.2 节。
计算 NTK：方法 2（NTK-向量积）¶
接下来我们将讨论的方法是使用 NTK-向量积计算 NTK 的方法。
此方法将 NTK 重构成应用于大小为\(O\times O\)（其中\(O\)是模型的输出大小）的单位矩阵\(I_O\)的列的 NTK-向量积的堆栈。
其中\(e_o\in \mathbb{R}^O\)是单位矩阵\(I_O\)的列向量。
令\(\textrm{vjp}_o = J_{net}^T(x_2) e_o\)。我们可以使用向量-雅可比积来计算它。
现在，考虑\(J_{net}(x_1) \textrm{vjp}_o\)。这是一个雅可比-向量积！
最后，我们可以使用
vmap对\(I_O\)的所有列\(e_o\)并行运行上述计算。
这表明我们可以结合反向模式 AD（计算向量-雅可比积）和前向模式 AD（计算雅可比-向量积）来计算 NTK。
让我们编写代码。
def empirical_ntk_ntk_vps(func, params, x1, x2, compute='full'):
def get_ntk(x1, x2):
def func_x1(params):
return func(params, x1)
def func_x2(params):
return func(params, x2)
output, vjp_fn = vjp(func_x1, params)
def get_ntk_slice(vec):
# This computes ``vec @ J(x2).T``
# `vec` is some unit vector (a single slice of the Identity matrix)
vjps = vjp_fn(vec)
# This computes ``J(X1) @ vjps``
_, jvps = jvp(func_x2, (params,), vjps)
return jvps
# Here's our identity matrix
basis = torch.eye(output.numel(), dtype=output.dtype, device=output.device).view(output.numel(), -1)
return vmap(get_ntk_slice)(basis)
# ``get_ntk(x1, x2)`` computes the NTK for a single data point x1, x2
# Since the x1, x2 inputs to ``empirical_ntk_ntk_vps`` are batched,
# we actually wish to compute the NTK between every pair of data points
# between {x1} and {x2}. That's what the ``vmaps`` here do.
result = vmap(vmap(get_ntk, (None, 0)), (0, None))(x1, x2)
if compute == 'full':
return result
if compute == 'trace':
return torch.einsum('NMKK->NM', result)
if compute == 'diagonal':
return torch.einsum('NMKK->NMK', result)
# Disable TensorFloat-32 for convolutions on Ampere+ GPUs to sacrifice performance in favor of accuracy
with torch.backends.cudnn.flags(allow_tf32=False):
result_from_jacobian_contraction = empirical_ntk_jacobian_contraction(fnet_single, params, x_test, x_train)
result_from_ntk_vps = empirical_ntk_ntk_vps(fnet_single, params, x_test, x_train)
assert torch.allclose(result_from_jacobian_contraction, result_from_ntk_vps, atol=1e-5)
我们为empirical_ntk_ntk_vps编写的代码看起来像是上面数学公式的直接翻译！这展示了函数转换的强大功能：如果您只使用torch.autograd.grad，那么祝您好运尝试编写上述代码的高效版本。
此方法的渐近时间复杂度为\(N^2 O [FP]\)，其中\(N\)是\(x_1\)和\(x_2\)的批次大小，\(O\)是模型的输出大小，\([FP]\)是通过模型进行一次前向传递的成本。因此，此方法执行的网络前向传递次数比方法 1（雅可比收缩）多（\(N^2 O\)而不是\(N O\)），但完全避免了收缩成本（没有\(N^2 O^2 P\)项，其中\(P\)是模型参数的总数）。因此，当\(O P\)相对于\([FP]\)较大时，此方法更可取，例如具有许多输出\(O\)的全连接（而非卷积）模型。在内存方面，这两种方法应该相当。有关详细信息，请参阅Fast Finite Width Neural Tangent Kernel中的第 3.3 节。
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