torch.linalg.eigh¶

torch.linalg.eigh(A, UPLO='L', *, out=None)¶

计算复埃尔米特矩阵或实对称矩阵的特征值分解。

令 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，复埃尔米特矩阵或实对称矩阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的特征值分解定义为

A = Q \operatorname{diag}(\Lambda) Q^{\text{H}}\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{R}^n}

其中 $Q^{\text{H}}$ 是当 $Q$ 是复数时的共轭转置，以及当 $Q$ 是实数值时的转置。 $Q$ 在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型的输入。也支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

A 假定为埃尔米特矩阵（resp. 对称矩阵），但这在内部不进行检查，而是

如果 UPLO= ‘L’ (默认值)，则计算中仅使用矩阵的下三角部分。
如果 UPLO= ‘U’，则仅使用矩阵的上三角部分。

特征值以升序返回。

注意

当输入在 CUDA 设备上时，此函数会将该设备与 CPU 同步。

注意

实对称矩阵或复埃尔米特矩阵的特征值始终为实数。

警告

对称矩阵的特征向量不是唯一的，也不相对于 A 连续。由于这种不唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种不唯一性是由于在实数情况下将特征向量乘以 -1，或者在复数情况下乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 会产生矩阵的另一组有效特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为这个量没有明确定义。在计算此函数的梯度时，会对复数输入进行检查。因此，当输入是复数且在 CUDA 设备上时，此函数梯度的计算会将该设备与 CPU 同步。

警告

仅当 A 具有不同的特征值时，使用 eigenvectors 张量计算的梯度才是有限的。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近于零，则梯度在数值上将不稳定，因为它取决于通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$ 的特征值。

警告

如果用户在 CUDA 版本低于 12.1 update 1 的 CUDA 设备上，使用大型病态条件矩阵作为输入运行 eigh，可能会看到 pytorch 崩溃。有关更多详细信息，请参阅线性代数数值稳定性。如果发生这种情况，用户可以 (1) 调整其矩阵输入以减少病态条件，或 (2) 使用 torch.backends.cuda.preferred_linalg_library() 尝试其他支持的后端。

另请参阅

torch.linalg.eigvalsh() 仅计算埃尔米特矩阵的特征值。与 torch.linalg.eigh() 不同，eigvalsh() 的梯度始终在数值上是稳定的。

torch.linalg.cholesky() 用于埃尔米特矩阵的不同分解。Cholesky 分解提供的矩阵信息较少，但计算速度比特征值分解快得多。

torch.linalg.eig() 用于计算不一定是埃尔米特方阵的特征值分解的（较慢的）函数。

torch.linalg.svd() 用于计算任意形状矩阵的更通用的 SVD 分解的（较慢的）函数。

torch.linalg.qr() 用于另一种（快得多的）适用于一般矩阵的分解。

参数

A (Tensor) – 形状为 (*, n, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批处理维度，包含对称或埃尔米特矩阵。
UPLO ('L', 'U', 可选) – 控制在计算中使用 A 的上三角部分还是下三角部分。默认值：‘L’。

关键字参数

out (tuple, 可选) – 两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认值：None。

返回值

一个名为 (eigenvalues, eigenvectors) 的命名元组，对应于上面的 $\Lambda$ 和 $Q$ 。

eigenvalues 始终为实数值，即使 A 是复数也是如此。它也将按升序排列。

eigenvectors 将具有与 A 相同的数据类型，并将特征向量作为其列包含在内。

示例：

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A = A + A.T.conj()  # creates a Hermitian matrix
>>> A
tensor([[2.9228+0.0000j, 0.2029-0.0862j],
        [0.2029+0.0862j, 0.3464+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> L
tensor([0.3277, 2.9415], dtype=torch.float64)
>>> Q
tensor([[-0.0846+-0.0000j, -0.9964+0.0000j],
        [ 0.9170+0.3898j, -0.0779-0.0331j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag(L.cdouble()) @ Q.T.conj(), A)
tensor(6.1062e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> A = A + A.mT  # creates a batch of symmetric matrices
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag_embed(L) @ Q.mH, A)
tensor(1.5423e-15, dtype=torch.float64)

torch.linalg.eigh¶

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