torch.linalg.svd

torch.linalg.svd(A, full_matrices=True, *, driver=None, out=None)

计算矩阵的奇异值分解 (SVD)。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，矩阵 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的**完整 SVD**，如果 k = min(m,n)，定义为

$$A = U \operatorname{diag}(S) V^{\text{H}} \mathrlap{\qquad U \in \mathbb{K}^{m \times m}, S \in \mathbb{R}^k, V \in \mathbb{K}^{n \times n}}$$

其中 $\operatorname{diag}(S) \in \mathbb{K}^{m \times n}$, $V^{\text{H}}$ 在 $V$ 为复数时是共轭转置，在 $V$ 为实值时是转置。矩阵 $U$、$V$ (以及 $V^{\text{H}}$) 在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的。

当 m > n (或 m < n) 时，我们可以删除 U 的最后 m - n 列 (或 V 的最后 n - m 列) 以形成**精简 SVD**

$$A = U \operatorname{diag}(S) V^{\text{H}} \mathrlap{\qquad U \in \mathbb{K}^{m \times k}, S \in \mathbb{R}^k, V \in \mathbb{K}^{n \times k}}$$

其中 $\operatorname{diag}(S) \in \mathbb{K}^{k \times k}$。在这种情况下，$U$ 和 $V$ 也具有标准正交列。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型输入。也支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

返回的分解是一个命名元组 (U, S, Vh)，对应于上面的 $U$、$S$、$V^{\text{H}}$。

奇异值按降序返回。

参数 full_matrices 在完整 SVD（默认）和精简 SVD 之间进行选择。

driver kwarg 可以与 cuSOLVER 后端在 CUDA 中一起使用，以选择用于计算 SVD 的算法。驱动程序的选择是在准确性和速度之间权衡。

• 如果 A 是良态的（其条件数不是太大），或者您不介意一些精度损失。

  • 对于一般矩阵：‘gesvdj’ (Jacobi 方法)

  • 如果 A 是高矩阵或宽矩阵 (m >> n 或 m << n)：‘gesvda’ (近似方法)

• 如果 A 不是良态的或精度很重要：‘gesvd’ (基于 QR 的方法)

默认情况下 (driver= None)，我们调用 ‘gesvdj’，如果失败，则回退到 ‘gesvd’。

与 numpy.linalg.svd 的区别

• 与 numpy.linalg.svd 不同，此函数始终返回三个张量的元组，并且不支持 compute_uv 参数。请使用 torch.linalg.svdvals()，它仅计算奇异值，而不是 compute_uv=False。

注意

当 full_matrices= True 时，关于 U[…, :, min(m, n):] 和 Vh[…, min(m, n):, :] 的梯度将被忽略，因为这些向量可以是相应子空间的任意基。

警告

返回的张量 U 和 V 不是唯一的，它们相对于 A 也不是连续的。由于这种不唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的奇异向量。

这种不唯一性是由以下事实引起的：在实数情况下将任何一对奇异向量 $u_k, v_k$ 乘以 -1，或在复数情况下乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$，会产生矩阵的另外两个有效的奇异向量。因此，损失函数不应依赖于此 $e^{i \phi}$ 量，因为它没有明确定义。当计算此函数的梯度时，会针对复数输入检查这一点。因此，当输入是复数并且位于 CUDA 设备上时，此函数的梯度计算会将该设备与 CPU 同步。

警告

使用 U 或 Vh 计算的梯度仅在 A 没有重复奇异值时才是有限的。如果 A 是矩形矩阵，则零也不能是其奇异值之一。此外，如果任意两个奇异值之间的距离接近于零，则梯度在数值上将是不稳定的，因为它取决于奇异值 $\sigma_i$，通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \sigma_i^2 - \sigma_j^2}$。在矩形情况下，当 A 具有小奇异值时，梯度在数值上也将是不稳定的，因为它还取决于 $\frac{1}{\sigma_i}$ 的计算。

另请参阅

torch.linalg.svdvals() 仅计算奇异值。与 torch.linalg.svd() 不同，svdvals() 的梯度始终在数值上是稳定的。

torch.linalg.eig() 用于计算矩阵的另一种谱分解的函数。特征值分解仅适用于方阵。

torch.linalg.eigh() 用于计算 Hermitian 矩阵和对称矩阵的特征值分解的（更快）函数。

torch.linalg.qr() 用于另一种（更快得多）的分解，该分解适用于一般矩阵。

参数

• A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批次维度。

• full_matrices (bool, 可选) – 控制是计算完整还是简化的 SVD，以及返回的张量 U 和 Vh 的形状。默认值：True。

关键字参数

• driver (str, 可选) – 要使用的 cuSOLVER 方法的名称。此关键字参数仅适用于 CUDA 输入。可用选项为：None、gesvd、gesvdj 和 gesvda。默认值：None。

• out (tuple, 可选) – 三个张量的输出元组。如果为 None，则忽略。

返回值

一个名为 (U, S, Vh) 的命名元组，对应于上面的 $U$、$S$、$V^{\text{H}}$。

S 将始终是实数值，即使 A 是复数。它也将按降序排列。

U 和 Vh 将具有与 A 相同的 dtype。左/右奇异向量将分别由 U 的列和 Vh 的行给出。

示例

>>> A = torch.randn(5, 3)
>>> U, S, Vh = torch.linalg.svd(A, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
(torch.Size([5, 3]), torch.Size([3]), torch.Size([3, 3]))
>>> torch.dist(A, U @ torch.diag(S) @ Vh)
tensor(1.0486e-06)

>>> U, S, Vh = torch.linalg.svd(A)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
(torch.Size([5, 5]), torch.Size([3]), torch.Size([3, 3]))
>>> torch.dist(A, U[:, :3] @ torch.diag(S) @ Vh)
tensor(1.0486e-06)

>>> A = torch.randn(7, 5, 3)
>>> U, S, Vh = torch.linalg.svd(A, full_matrices=False)
>>> torch.dist(A, U @ torch.diag_embed(S) @ Vh)
tensor(3.0957e-06)