torch.linalg.qr

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)

计算矩阵的 QR 分解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，矩阵 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的完整 QR 分解定义为

$$A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}$$

其中 $Q$ 在实数情况下是正交的，在复数情况下是酉的，而 $R$ 是上三角矩阵，对角线为实数（即使在复数情况下也是如此）。

当 m > n（高矩阵）时，由于 R 是上三角矩阵，因此其最后 m - n 行均为零。在这种情况下，我们可以删除 Q 的最后 m - n 列以形成约简 QR 分解

$$A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}$$

当 n >= m（宽矩阵）时，约简 QR 分解与完整 QR 分解一致。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble dtype 的输入。也支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批次，则输出具有相同的批次维度。

参数 mode 在完整 QR 分解和约简 QR 分解之间进行选择。如果 A 的形状为 (*, m, n)，表示 k = min(m, n)

• mode= ‘reduced’ (默认)：返回形状分别为 (*, m, k)、(*, k, n) 的 (Q, R)。它始终是可微分的。

• mode= ‘complete’：返回形状分别为 (*, m, m)、(*, m, n) 的 (Q, R)。对于 m <= n，它是可微分的。

• mode= ‘r’：仅计算约简 R。返回 (Q, R)，其中 Q 为空，R 的形状为 (*, k, n)。它永远不可微分。

与 numpy.linalg.qr 的区别

• mode= ‘raw’ 未实现。

• 与 numpy.linalg.qr 不同，此函数始终返回两个张量的元组。当 mode= ‘r’ 时，Q 张量是一个空张量。

警告

R 对角线上的元素不一定是正数。因此，返回的 QR 分解仅在 R 对角线的符号上是唯一的。因此，不同的平台（如 NumPy）或不同设备上的输入可能会产生不同的有效分解。

警告

仅当 A 中每个矩阵的前 k = min(m, n) 列线性独立时，QR 分解才是良好定义的。如果未满足此条件，则不会抛出错误，但生成的 QR 可能不正确，并且其自动微分可能会失败或产生不正确的结果。

参数

• A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 是零个或多个批次维度。

• mode (str, 可选) – ‘reduced’、‘complete’、‘r’ 之一。控制返回张量的形状。默认值：‘reduced’。

关键字参数

out (tuple, 可选) – 两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认值：None。

返回值

一个名为 (Q, R) 的命名元组。

示例

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)