torch.linalg.qr¶
- torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)¶
计算矩阵的 QR 分解。
令 为 或 ,矩阵 的 **完全 QR 分解** 定义为
其中 在实数情况下是正交的,在复数情况下是酉的,而 是上三角矩阵,对角线为实数(即使在复数情况下也是)。
当 m > n(高矩阵)时,由于 R 是上三角矩阵,因此其最后的 m - n 行为零。在这种情况下,我们可以删除 Q 的最后 m - n 列以形成 **简化 QR 分解**
当 n >= m(宽矩阵)时,缩减的 QR 分解与完整的 QR 分解一致。
支持输入 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。还支持矩阵批次,如果
A
是一个矩阵批次,则输出具有相同的批次维度。参数
mode
在完整的 QR 分解和缩减的 QR 分解之间进行选择。如果A
形状为 (*, m, n),表示 k = min(m, n)mode
= ‘reduced’(默认):返回形状分别为 (*, m, k)、(*, k, n) 的 (Q, R)。它始终可微分。mode
= ‘complete’:返回形状分别为 (*, m, m)、(*, m, n) 的 (Q, R)。它在 m <= n 时可微分。mode
= ‘r’:仅计算缩减的 R。返回 (Q, R),其中 Q 为空,R 形状为 (*, k, n)。它永远不可微分。
与 numpy.linalg.qr 的区别
mode
= ‘raw’ 未实现。与 numpy.linalg.qr 不同,此函数始终返回两个张量元组。当
mode
= ‘r’ 时,Q 张量为空张量。
警告
R 对角线上的元素不一定为正。因此,返回的 QR 分解仅在 R 对角线的符号上唯一。因此,不同的平台,如 NumPy,或不同设备上的输入,可能会产生不同的有效分解。
警告
只有当
A
中每个矩阵的前 k = min(m, n) 列线性无关时,QR 分解才定义良好。如果此条件不满足,则不会抛出错误,但生成的 QR 可能不正确,其自动微分可能会失败或产生不正确的结果。- 参数
- 关键字参数
out (tuple, optional) – 两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认值:None。
- 返回值
一个名为元组 (Q, R)。
示例
>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]]) >>> Q, R = torch.linalg.qr(A) >>> Q tensor([[-0.8571, 0.3943, 0.3314], [-0.4286, -0.9029, -0.0343], [ 0.2857, -0.1714, 0.9429]]) >>> R tensor([[ -14.0000, -21.0000, 14.0000], [ 0.0000, -175.0000, 70.0000], [ 0.0000, 0.0000, -35.0000]]) >>> (Q @ R).round() tensor([[ 12., -51., 4.], [ 6., 167., -68.], [ -4., 24., -41.]]) >>> (Q.T @ Q).round() tensor([[ 1., 0., 0.], [ 0., 1., -0.], [ 0., -0., 1.]]) >>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r') >>> Q2 tensor([]) >>> torch.equal(R, R2) True >>> A = torch.randn(3, 4, 5) >>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete') >>> torch.dist(Q @ R, A) tensor(1.6099e-06) >>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4)) tensor(6.2158e-07)