torch.linalg.qr¶

torch.linalg.qr(A, mode='reduced', *, out=None)¶

计算矩阵的 QR 分解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ ，矩阵 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 的 完整 QR 分解 定义为

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times m}, R \in \mathbb{K}^{m \times n}}

其中 $Q$ 在实数情况下是正交矩阵，在复数情况下是酉矩阵，而 $R$ 是上三角矩阵，其对角线元素是实数（即使在复数情况下）。

当 m > n（高矩阵）时，由于 R 是上三角矩阵，其最后 m - n 行是零。在这种情况下，我们可以舍弃 Q 的最后 m - n 列，形成 简化 QR 分解

A = QR\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{m \times n}, R \in \mathbb{K}^{n \times n}}

当 n >= m（宽矩阵）时，简化 QR 分解与完整 QR 分解一致。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型的输入。也支持矩阵的批次输入，如果 A 是矩阵的批次，则输出具有相同的批次维度。

参数 mode 用于选择完整 QR 分解或简化 QR 分解。如果 A 的形状是 (*, m, n)，其中 * 表示零个或多个批次维度，记 k = min(m, n)

mode= ‘reduced’（默认）：分别返回形状为 (*, m, k) 和 (*, k, n) 的 (Q, R)。它始终可导。
mode= ‘complete’：分别返回形状为 (*, m, m) 和 (*, m, n) 的 (Q, R)。当 m <= n 时可导。
mode= ‘r’：只计算简化的 R。返回 (Q, R)，其中 Q 为空张量，R 的形状为 (*, k, n)。它永远不可导。

与 numpy.linalg.qr 的区别

mode= ‘raw’ 尚未实现。
与 numpy.linalg.qr 不同，此函数总是返回两个张量的元组。当 mode= ‘r’ 时，Q 张量为空张量。

警告

R 的对角线元素不一定是正数。因此，返回的 QR 分解在 R 的对角线符号方面不唯一。不同的平台（例如 NumPy）或不同设备上的输入可能会产生不同的有效分解。

警告

只有当 A 中每个矩阵的前 k = min(m, n) 列线性独立时，QR 分解才是良好定义的。如果此条件不满足，将不会抛出错误，但生成的 QR 可能不正确，并且其自动微分（autodiff）可能会失败或产生错误结果。

参数

A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 表示零个或多个批次维度。
mode (str, 可选) – ‘reduced’、‘complete’ 或 ‘r’ 之一。控制返回张量的形状。默认值：‘reduced’。

关键字参数

out (tuple, 可选) – 包含两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认值：None。

返回

命名元组 (Q, R)。

示例

>>> A = torch.tensor([[12., -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]])
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A)
>>> Q
tensor([[-0.8571,  0.3943,  0.3314],
        [-0.4286, -0.9029, -0.0343],
        [ 0.2857, -0.1714,  0.9429]])
>>> R
tensor([[ -14.0000,  -21.0000,   14.0000],
        [   0.0000, -175.0000,   70.0000],
        [   0.0000,    0.0000,  -35.0000]])
>>> (Q @ R).round()
tensor([[  12.,  -51.,    4.],
        [   6.,  167.,  -68.],
        [  -4.,   24.,  -41.]])
>>> (Q.T @ Q).round()
tensor([[ 1.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1., -0.],
        [ 0., -0.,  1.]])
>>> Q2, R2 = torch.linalg.qr(A, mode='r')
>>> Q2
tensor([])
>>> torch.equal(R, R2)
True
>>> A = torch.randn(3, 4, 5)
>>> Q, R = torch.linalg.qr(A, mode='complete')
>>> torch.dist(Q @ R, A)
tensor(1.6099e-06)
>>> torch.dist(Q.mT @ Q, torch.eye(4))
tensor(6.2158e-07)

torch.linalg.qr¶

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