torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

计算方阵的特征值分解（如果存在）。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，方阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的 **特征值分解**（如果存在）定义为

$$A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}$$

当且仅当 $A$ 可 对角化 时，此分解存在。当其所有特征值都不同时，就会出现这种情况。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型作为输入。还支持矩阵批处理，如果 A 是一个矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

返回的特征值不保证按任何特定顺序排列。

注意

实数矩阵的特征值和特征向量可能是复数。

注意

当输入位于 CUDA 设备上时，此函数会将该设备与 CPU 同步。

警告

此函数假设A是可对角化的（例如，当所有特征值都不同时）。如果它不可对角化，则返回的特征值将是正确的，但$A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$.

警告

返回的特征向量被归一化，使其范数为1。即使这样，矩阵的特征向量也不是唯一的，也不是关于A连续的。由于这种非唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种非唯一性是由以下事实引起的：将特征向量乘以$e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$会产生另一组矩阵的有效特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为此量没有明确定义。在计算此函数的梯度时会检查这一点。因此，当输入在 CUDA 设备上时，此函数的梯度计算会将该设备与 CPU 同步。

警告

使用eigenvectors张量计算的梯度只有当A具有不同的特征值时才是有限的。此外，如果任何两个特征值之间的距离接近于零，则梯度在数值上是不稳定的，因为它依赖于特征值$\lambda_i$通过计算$\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$.

另请参阅

torch.linalg.eigvals()仅计算特征值。与torch.linalg.eig()不同，eigvals()的梯度在数值上始终是稳定的。

torch.linalg.eigh()用于计算厄米特和对称矩阵的特征值分解的（更快）函数。

torch.linalg.svd()用于计算另一种谱分解的函数，该函数适用于任何形状的矩阵。

torch.linalg.qr()用于计算另一种（快得多）分解的函数，该函数适用于任何形状的矩阵。

参数

A (张量) – 形状为(*, n, n)的张量，其中*是零个或多个批处理维度，包含可对角化的矩阵。

关键字参数

out (元组, 可选) – 两个张量的输出元组。如果为None则忽略。默认值：None。

返回值

一个名为(eigenvalues, eigenvectors)的元组，对应于上面提到的$\Lambda$和$V$。

eigenvalues和eigenvectors将始终是复数值，即使A是实数。特征向量将由eigenvectors的列给出。

示例

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)