torch.linalg.eig

torch.linalg.eig(A, *, out=None)

计算方阵的特征值分解（如果存在）。

令 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，方阵 $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ 的特征值分解（如果存在）定义为

$$A = V \operatorname{diag}(\Lambda) V^{-1}\mathrlap{\qquad V \in \mathbb{C}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{C}^n}$$

此分解存在当且仅当 $A$ 是 可对角化的。当其所有特征值都不同时，情况就是如此。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble dtypes 的输入。还支持矩阵批处理，如果 A 是矩阵批处理，则输出具有相同的批处理维度。

返回的特征值不保证有任何特定顺序。

注意

实矩阵的特征值和特征向量可能是复数。

注意

当输入在 CUDA 设备上时，此函数会将该设备与 CPU 同步。

警告

此函数假定 A 是 可对角化的（例如，当所有特征值都不同时）。如果它不可对角化，则返回的特征值将是正确的，但 $A \neq V \operatorname{diag}(\Lambda)V^{-1}$。

警告

返回的特征向量被归一化为范数 1。即便如此，矩阵的特征向量也不是唯一的，它们也不相对于 A 连续。由于这种缺乏唯一性，不同的硬件和软件可能会计算出不同的特征向量。

这种非唯一性是由于将特征向量乘以 $e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R}$ 会产生该矩阵的另一组有效特征向量。因此，损失函数不应依赖于特征向量的相位，因为此量未明确定义。在计算此函数的梯度时会检查这一点。因此，当输入在 CUDA 设备上时，此函数的梯度计算会将该设备与 CPU 同步。

警告

仅当 A 具有不同的特征值时，使用 eigenvectors 张量计算的梯度才是有限的。此外，如果任意两个特征值之间的距离接近于零，则梯度将在数值上不稳定，因为它取决于特征值 $\lambda_i$ 通过计算 $\frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j}$。

另请参阅

torch.linalg.eigvals() 仅计算特征值。与 torch.linalg.eig() 不同，eigvals() 的梯度始终在数值上是稳定的。

torch.linalg.eigh() 一个（更快的）函数，用于计算 Hermitian 和对称矩阵的特征值分解。

torch.linalg.svd() 一个函数，用于计算另一种类型的谱分解，适用于任何形状的矩阵。

torch.linalg.qr() 另一种（更快得多的）分解，适用于任何形状的矩阵。

参数

A (Tensor) – 形状为 (*, n, n) 的张量，其中 * 是零个或多个由可对角化矩阵组成的批次维度。

关键字参数

out (tuple, optional) – 包含两个张量的输出元组。如果为 None 则忽略。默认值：None。

返回

一个名为 (eigenvalues, eigenvectors) 的命名元组，对应于上面的 $\Lambda$ 和 $V$。

eigenvalues 和 eigenvectors 将始终是复数值，即使 A 是实数。特征向量将由 eigenvectors 的列给出。

示例

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A
tensor([[ 0.9828+0.3889j, -0.4617+0.3010j],
        [ 0.1662-0.7435j, -0.6139+0.0562j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> L
tensor([ 1.1226+0.5738j, -0.7537-0.1286j], dtype=torch.complex128)
>>> V
tensor([[ 0.9218+0.0000j,  0.1882-0.2220j],
        [-0.0270-0.3867j,  0.9567+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(V @ torch.diag(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(7.7119e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> L, V = torch.linalg.eig(A)
>>> torch.dist(V @ torch.diag_embed(L) @ torch.linalg.inv(V), A)
tensor(3.2841e-16, dtype=torch.float64)