torch.linalg.lstsq

torch.linalg.lstsq(A, B, rcond=None, *, driver=None)

计算线性方程组最小二乘问题的解。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，线性系统 $AX = B$ 的 **最小二乘问题**，其中 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}, B \in \mathbb{K}^{m \times k}$ 定义为

$$\min_{X \in \mathbb{K}^{n \times k}} \|AX - B\|_F$$

其中 $\|-\|_F$ 表示 Frobenius 范数。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型。也支持矩阵的批处理，如果输入是矩阵的批处理，则输出具有相同的批处理维度。

driver 选择将要使用的后端函数。对于 CPU 输入，有效值为 ‘gels’、‘gelsy’、‘gelsd’、‘gelss’。要选择 CPU 上的最佳驱动程序，请考虑

• 如果 A 条件良好（其 条件数 不太大），或者您不介意一些精度损失。

  • 对于一般矩阵：‘gelsy’（带 pivoting 的 QR）（默认）

  • 如果 A 是满秩的：‘gels’（QR）

• 如果 A 条件不好。

  • ‘gelsd’（三对角线约简和 SVD）

  • 但是，如果您遇到内存问题：‘gelss’（完整 SVD）。

对于 CUDA 输入，唯一有效的驱动程序是 ‘gels’，它假定 A 是满秩的。

另请参阅 这些驱动程序的完整描述

rcond 用于确定 A 中矩阵的有效秩，当 driver 为以下之一时：(‘gelsy’、‘gelsd’、‘gelss’)。在这种情况下，如果 $\sigma_i$ 是 A 的奇异值，按降序排列，则 $\sigma_i$ 将被舍入为零，如果 $\sigma_i \leq \text{rcond} \cdot \sigma_1$. 如果 rcond= None（默认），则 rcond 设置为 A 数据类型的机器精度乘以 max(m, n)。

此函数返回问题的解以及一些额外的信息，这些信息包含在四个张量的命名元组 (solution, residuals, rank, singular_values) 中。对于形状分别为 (*, m, n)、(*, m, k) 的输入 A、B，它包含

• solution：最小二乘解。它的形状为 (*, n, k)。

• residuals：解的平方残差，即 $\|AX - B\|_F^2$. 它的形状等于 A 的批处理维度。它在 m > n 且 A 中的每个矩阵都是满秩时计算，否则是一个空张量。如果 A 是一个矩阵批处理，并且批处理中的任何矩阵不是满秩，则返回一个空张量。此行为可能会在将来的 PyTorch 版本中更改。

• rank：A 中矩阵的秩张量。它的形状等于 A 的批处理维度。它在 driver 为以下之一时计算：(‘gelsy’、‘gelsd’、‘gelss’)，否则是一个空张量。

• singular_values：A 中矩阵的奇异值张量。它的形状为 (*, min(m, n))。它在 driver 为以下之一时计算：(‘gelsd’、‘gelss’)，否则是一个空张量。

注意

此函数以比分别执行计算更快且更数值稳定的方式计算 X = A.pinverse() @ B。

警告

rcond 的默认值可能会在将来的 PyTorch 版本中更改。因此建议使用固定值以避免潜在的重大更改。

参数

• A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的 lhs 张量，其中 * 是零个或多个批处理维度。

• B (Tensor) – 形状为 (*, m, k) 的 rhs 张量，其中 * 是零个或多个批处理维度。

• rcond (float, optional) – 用于确定 A 的有效秩。如果 rcond= None，则 rcond 设置为 A 数据类型的机器精度乘以 max(m, n)。默认值：None。

关键字参数

driver (str, optional) – 要使用的 LAPACK/MAGMA 方法的名称。如果为 None，则对于 CPU 输入使用 ‘gelsy’，对于 CUDA 输入使用 ‘gels’。默认值：None。

返回

一个命名元组 (solution, residuals, rank, singular_values)。

示例

>>> A = torch.randn(1,3,3)
>>> A
tensor([[[-1.0838,  0.0225,  0.2275],
     [ 0.2438,  0.3844,  0.5499],
     [ 0.1175, -0.9102,  2.0870]]])
>>> B = torch.randn(2,3,3)
>>> B
tensor([[[-0.6772,  0.7758,  0.5109],
     [-1.4382,  1.3769,  1.1818],
     [-0.3450,  0.0806,  0.3967]],
    [[-1.3994, -0.1521, -0.1473],
     [ 1.9194,  1.0458,  0.6705],
     [-1.1802, -0.9796,  1.4086]]])
>>> X = torch.linalg.lstsq(A, B).solution # A is broadcasted to shape (2, 3, 3)
>>> torch.dist(X, torch.linalg.pinv(A) @ B)
tensor(1.5152e-06)

>>> S = torch.linalg.lstsq(A, B, driver='gelsd').singular_values
>>> torch.dist(S, torch.linalg.svdvals(A))
tensor(2.3842e-07)

>>> A[:, 0].zero_()  # Decrease the rank of A
>>> rank = torch.linalg.lstsq(A, B).rank
>>> rank
tensor([2])