torch.linalg.householder_product

torch.linalg.householder_product(A, tau, *, out=None) → Tensor

计算 Householder 矩阵乘积的前 n 列。

设 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，设 $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ 为一个矩阵，其列向量为 $a_i \in \mathbb{K}^m$（对于 $i=1,\ldots,m$，且 $m \geq n$）。记 $b_i$ 为将 $a_i$ 的前 $i-1$ 个分量置零、第 $i$ 个分量设为 `1` 所得的向量。对于一个向量 $\tau \in \mathbb{K}^k$（其中 $k \leq n$），本函数计算以下矩阵的前 $n$ 列

$$H_1H_2 ... H_k \qquad\text{with}\qquad H_i = \mathrm{I}_m - \tau_i b_i b_i^{\text{H}}$$

其中 $\mathrm{I}_m$ 是 m 维单位矩阵，$b^{\text{H}}$ 在 $b$ 是复数时表示共轭转置，在 $b$ 是实数时表示转置。输出矩阵的大小与输入矩阵 A 相同。

有关更多详细信息，请参见 Representation of Orthogonal or Unitary Matrices。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble 数据类型的输入。也支持批处理矩阵输入，如果输入是批处理矩阵，则输出具有相同的批处理维度。

另请参阅

torch.geqrf() 可与本函数结合使用，从 qr() 分解中形成 Q 矩阵。

torch.ormqr() 是一个相关函数，用于计算 Householder 矩阵乘积与另一个矩阵的矩阵乘法。但是，该函数不支持自动求导。

警告

只有当 $\tau_i \neq \frac{1}{||a_i||^2}$ 时，梯度计算才是良好定义的。如果未满足此条件，不会抛出错误，但生成的梯度可能包含 NaN。

参数

• A (Tensor) – 形状为 (*, m, n) 的张量，其中 * 表示零个或多个批处理维度。

• tau (Tensor) – 形状为 (*, k) 的张量，其中 * 表示零个或多个批处理维度。

关键字参数

out (Tensor, 可选) – 输出张量。如果为 None 则忽略。默认值：None。

抛出

RuntimeError – 如果 A 不满足 m >= n 的要求，或 tau 不满足 n >= k 的要求。

示例

>>> A = torch.randn(2, 2)
>>> h, tau = torch.geqrf(A)
>>> Q = torch.linalg.householder_product(h, tau)
>>> torch.dist(Q, torch.linalg.qr(A).Q)
tensor(0.)

>>> h = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> tau = torch.randn(3, 1, dtype=torch.complex128)
>>> Q = torch.linalg.householder_product(h, tau)
>>> Q
tensor([[[ 1.8034+0.4184j,  0.2588-1.0174j],
        [-0.6853+0.7953j,  2.0790+0.5620j]],

        [[ 1.4581+1.6989j, -1.5360+0.1193j],
        [ 1.3877-0.6691j,  1.3512+1.3024j]],

        [[ 1.4766+0.5783j,  0.0361+0.6587j],
        [ 0.6396+0.1612j,  1.3693+0.4481j]]], dtype=torch.complex128)